Главная > Математика > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Системы с постоянными коэффициентами.

Пусть а — вещественная матрица постоянными элементами. Если — собственное значение, соответствующий собственный вектор матрицы то вектор-функцня

оказывается решением однородной системы

При этом если к — комплексное число, то сопряженное число также будет собственным значением, причем ему отвечает сопряженный собственный вектор Пусть Ясно что при так как в противном случае т. е. Кроме того, линейно-независимы, так как в противном случае оказался бы вещественным собственным вектором. Таким образом, с парой комплексно-сопряженных собственных значений связана пара комплексно-сопряженных решений системы

Вместе с линейно-независимыми решениями системы (2.1) оказываются вещественные функции

Их линейная независимость следует из того, что при векторы линейно-независимы.

Это замечание позволяет легко построить фундаментальную систему решений в том случае, когда матрица а не имеет кратных собственных значений (все собственные значения попарно различны):

1) Пусть -вещественны. Тогда их собственные векторы вещественны и линейно-независимы. Фундаментальную систему решений образуют функции

2) Если среди встречаются комплексные числа, то система (2.3) по-прежнему будет фундаментальной системой решений, но среди них будут комплексные. Можно считать, что в систему (2.3) будут входить пары комплексно-сопряженных функций Отделяя их

вещественные мнимые части, т. е. заменяя и функциями вида (2.2), получим вещественную фундаментальную систему решений.

Построение фундаментальной системы решений в случае кратных собственных значений опирается на теорию элементарных делителей, и мы его не будем детализировать. Укажем лишь одну общую формулу для фундаментальной матрицы решений в виде некоторого интеграла в комплексной плоскости.

Ввиду инвариантности системы (2.1) относительно сдвигов по вместе с 0) системе (2.1) удовлетворяет причем по теореме единственности Таким образом, оказывается функцией одной переменной, зависящей от разности Поэтому полностью определяется функцией Далее, априорная оценка решения системы (2.1) показывает, что любое решение при возрастает не быстрее, чем при некотором фиксированном а. В частности, это имеет место для Поэтому при а преобразование Лапласа

существует и является аналитической функцией К. Применяя это преобразование к тождеству с учетом получим

откуда

Эта функция аналитична всюду, за исключением собственных значений матрицы а, в которых имеет особенности типа полюсов. Пусть собственные значения матрицы а лежат в полуплоскости Тогда согласно обращению преобразования Лапласа

где С — контур вдоль которого возрастает. Однако, не меняя интеграла, контур С можно деформировать достаточно произвольным образом. Можно, например, считать его замкнутой кривой конечной длины с единственным условием, чтобы все собственные значения матрицы а лежали во внутренней области, ограниченной контуром С. Это обстоятельство ниже используется при оценке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление