Главная > Математика > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Сопряженная задача.

При изучения вопросов разрешимости уравнений мы видим (см. приложение), что условие разрешимости уравнения формулируется с помощью решений сопряженного уравнения. Оказывается, что аналогичная ситуация имеет место и для граничных задач, еелн только должным образом сформулировать сопряженную задачу.

В качестве наводящего соображения для формулировки сопряженной задачи поставим вопрос следующим образом. Рассмотрим задачу А при однородных граничных условиях Существует ли граничная задача такая, что для разрешимости задачи А необходимо выполнение следующего условия:

для всех решений такой задачи. Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью второй формулы Грина (3.2).

Именно, если мы подберем функцию так, чтобы во всех точках области и чтобы функция удовлетворяла следующим соотношениям на границе: при при то равенство (4.1) будет непосредственным следствием формулы (3.2).

Эти наводящие соображения приводят к следующей формулировке сопряженной задачи, которую мы назовем задачей А.

Задача А состоит в нахождении решения уравнения

в области удовлетворяющего следующим условиям на границе:

Здесь определяются равенствами (3.3) и (3.4); функция, заданная в области функции, заданные на соответственно.

Если мы сравним выражения для даваемые равенствами (1.6) и (3.3), то мы заметим, что уравнение (4.2) того же вида, что и (1.5). Точно так же сравнение граничных условий задачи с граничными условиями задачи А показывает, что и граничные условия аналогичны.

Таким образом, задача А имеет такой же вид, что и А. Поэтому мы можем сформулировать задачу, сопряженную к задаче Мы предоставим читателю проверить, что задача, сопряженная к совпадает с задачей

Граничную задачу будем называть однородной, если правые части равны нулю. Таким образом, в однородной задаче В однородной задаче

Как уже указывалось выше, для разрешимости задачи когда необходимо, чтобы выполнялось условие (4.1) для всех решений однородной задачи А. Аналогично с помощью формулы Грина можно написать необходимое условие разрешимости задачи без предположения, что равны нулю. Это условие также будет выглядеть как условие «ортогональности» в некотором смысле правых частей по всем решениям однородной задачи А. Читатель сам может легко их получить. Далеко не тривиальным оказывается тот факт, что так полученные необходимые условия являются также и достаточными для разрешимости задачи Это будет доказано в следующем параграфе.

Все сказанное выше без труда переносится на системы уравнений, если, конечно, сделать очевидные изменения. Так, в граничном условии (2.10) нужно в качестве понимать квадратную матрицу порядка При переходе к сопряженной задаче все матрицы следует заменить на транспонированные. В формулах Грина (3 1) и (3.2) произведения под знаками интегралов нужно заменить скалярными произведениями в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление