Главная > Математика > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Теоремы Фредгольма.

Определение. Оператор А называется фредгольмовским, если он может быть представлен в виде суммы двух операторов

где В имеет обратный, а конечномерный оператор.

Для уравнений с фредгольмовским оператором А имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Для разрешимости уравнения

при любой правой части необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение

имело только нулевое решение.

Теорема 2. Пространства решений однородного уравнения (4.3) и однородного сопряженного уравнения

конечномерны и имеют одинаковые размерности.

Теорема 3. Для разрешимости уравнения (4.2) при заданном векторе необходимо и достаточно, чтобы вектор был ортогонален ко всем решениям однородного сопряженного уравнения (4.4):

при

Эти три теоремы называются теоремами Фредгольма. Как показано в п. 2, для алгебраических систем уравнений эти теоремы справедливы. Заметим, что первая теорема является следствием второй и третьей при состоящем только из нулевого элемента (таким пространствам мы будем приписывать размерность нуль). Поэтому доказывать мы будем теоремы 2 и 3.

Начнем доказательство теорем со случая, когда

где единичный оператор. Тогда уравнение (4.2) имеет вид

Это есть уравнение (3.1), которое мы рассмотрели в п. 3. Будем предполагать, что оператор имеет вид (3.2), где образуют линейно-независимые системы векторов.

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (4.6), имеет вид

Гведем это уравнение к алгебраической системе уравнений, как это сделано в п. 3. Получим систему

причем, как было показано в п. 3, решение уравнения (4.7) получается по формуле

Легко проверить (предоставим это читателю), что равенства (4.9) и (3.4) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между решениями уравнений (4.7) и (4.8) такое, что размерности пространств решений этих уравнений совпадают.

Рассмотрим сопряженное однородное уравнение

Учитывая (3.3), мы можем записать это уравнение в виде

Сведем это уравнение к алгебраической системе так же, как это сделано для уравнения (4.7). Именно, пусть у — решение уравнения (4.11). Обозначим

Тогда

и, подставляя это в (4.12), получим уравнения для

Равенства (4.12) и (4.13) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между решениями уравнений (4.10) и (4.14), из которого следует, что размерности пространств решений этих уравнений совпадают. Но матрица линейной системы (4.14) является транспонированной к матрице системы (4.8), так что эта система является сопряженной к системе (4.8).

На основании теоремы 2 п. 2 размерности пространств решений этих систем совпадают. Следовательно, совпадают размерности пространств решений уравнений (4.7) и (4.10). Теорема 2 для оператора (4.5) доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 3 для оператора (4.5). Для этого заметим, что в силу аналогичной теоремы для линейных алгебраических уравнений для разрешимости системы (3.6) необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна к решениям системы (4.14):

для всех решений системы (4.14). Но в силу (4.13) это можно записать

Таким образом, условие (4.16) необходимо и достаточно для разрешимости уравнения (4.6). Для полного доказательства теоремы остается только воспользоваться указанным выше соответствием между решениями уравнений (4.14) и (4.10).

Итак, мы доказали теоремы Фредгольма для оператора (4.5). Перейдем теперь к общему случаю произвольного фредгольмовского оператора (4.1).

Запишем оператор А в виде

где Ясно, что область значений оператора содержится в области значений оператора и поэтому является конечномерным пространством. Таким образом, есть конечномерный оператор. Уравнение

на основании (4.17) можно записать в виде

Обозначим

Тогда уравнение (4.19) сведется к уравнению

т. е. к уравнению вида (4.6), для которого теоремы Фредгольма уже доказаны.

Далее, на основании (4.17)

Однородное уравнение

имеет вид

Так как оператор В имеет обратный, то и оператор В имеет обратный (см. п. III.3.3). Следовательно, из (4.23) получаем, умножая это равенство слева на

Это уравнение является однородным сопряженным к (4.21). Пространство решений уравнения (4.22), очевидно, совпадает с пространством решений уравнения (4.24).

Далее, в силу обратимости оператора В уравнение (4.19) разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо уравнение (4.21). Для разрешимости же уравнения (4.21) необходима и достаточна ортогональность правой части к пространству решений уравнения (4.24) и, следовательно, (4.22). Таким образом, мы доказали третью теорему Фредгольма для оператора А.

Чтобы доказать вторую теорему, заметим, что однородное уравнение

при замене (4.20) переходит в уравнение

и ввиду обратимости оператора В уравнения (4.25) и (4.26) имеют пространства решений одинаковой размерности. Чтобы это доказать, достаточно заметить, что если есть базис пространства решений уравнения (4.25), то векторы образуют базис пространства решений уравнения (4.26). Таким образом, размерности пространств решений уравнений (4.25) и (4.22) совпадают, так как они совпадают с размерностями пространств решений уравнений (4.26) и (4.24). Тем самым вторая теорема Фредгольма доказана.

Итак, мы доказали справедливость теорем Фредгольма для произвольных фредгольмовских операторов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление