Главная > Математика > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

1. Понятие критического значения. Некоторые свойства.

Ради простоты формулировок предположим, что и будем рассматривать задачу

при выполнении следующих условий:

Здесь оператор (1.1.5). Функции предполагаются ограниченными. По-прежнему предполагаются условия (1.1.3), (1.1.4). Мы прямо нигде не используем гладкости коэффициентов оператора однако всюду, где понадобится, считаем ограниченным решение краевой задачи для линейного уравнения вида с ограниченными (см. п. VII.6.6), если, конечно, такое решение существует. Область предполагается связным открытым ограниченным

множеством с конечным периметром. Мы будем интересоваться неотрицательными решениями задачи (1.1). Поскольку при выполнении (1.2) является нижней функцией задачи (1.1), то такое решение будет существовать при наличии неотрицательной верхней функции. Ниже, говоря о разрешимости или неразрешимости задачи (1.1), мы имеем в виду наличие или отсутствие ограниченного неотрицательного решения.

Докажем несколько простых утверждений.

1. Задача (1.1) всегда разрешима при достаточно малых

Пусть решение задачи (ср. (1.1.8), (1.1.9))

При достаточно малых имеем поэтому, очевидно, является верхней функцией задачи (1.1) при таких

2. Если задача (1.1) разрешима при то она разрешима при всех задача (1.1) не разрешима при то она не разрешима при всех

Пусть - решение задачи (1.1) при Так как при имеем

то оказывается верхней функцией задачи (1.1) при Второе утверждение является, очевидно, следствием первого.

3. Минимальное неотрицательное решение задачи является неубывающей функцией

Существование минимального неотрицательного решения при достаточно малых следует из теоремы о разрешимости и утверждения 1. Пусть Как уже было сказано выше, является верхней функцией задачи (1.1) при Поэтому

4. Либо задача (1.1) разрешима при всех либо существует такое, что при задача разрешима, а при нет.

Множество всех для которых задача (1.1) разрешима, не в силу утверждения 1. Пусть множество всех для которых задача (1.1) не разрешима. Если не пусто, то в силу утверждения 2 для любых имеет место неравенство т. е. на числовой оси все множество располагается левее, чем множество Но так как любое значение принадлежит либо либо то имеет место

и для этого значения утверждение 4, очевидно, верно.

Определение. Величина (1.4) называется критическим значением задачи (1.1).

Таким образом, если критическое значение, то при задача (1.1) разрешима, а при — нет.

5. Для линейной функции критическое значение задачи (1.1) совпадает с наименьшим (первым) собственным значением задачи

Действительно, при задача (1.1) имеет положительное ограниченное решение, а при положительное решение невозможно, так как функция -решение) не может быть ортогональна (с весом к первой собственной функции задачи (1.5).

В общем случае величина зависит от функций области и граничных условий. При этом качественное поведение

оказывается очень похожим на поведение первого собственного значения задачи (1.5). Ниже мы проводим сравнение различных задач. Поэтому для удобства обозначим через А задачу (1.1) при условии (1.2). Соответственно этому будем обозначать множества через критическое значение — через

6. Пусть наряду с задачей А имеем задачу в той же области, с теми же граничными условиями, но с функциями

Тогда

Достаточно показать, что для соответствующих множеств имеет место включение

Пусть Тогда решение задачи в силу неравенства является верхней функцией задачи А, так что и (1.6) доказано.

7. Пусть открытая подобласть с конечным периметром, ее существенная граница. Положим и наряду с задачей А рассмотрим задачу в области с теми же функциями но с другими граничными условиями

Тогда

Пусть решение задачи А при этом Очевидно, и Кроме того, для продолжив ее нулем на множество имеем

Таким образом, оказывается верхней функцией задачи Это означает, что значит, имеет место включение Отсюда и следует утверждение.

В частности, при утверждение 7 означает, что может только увеличиться как при увеличении функции так и при сужении множества При сохранении и сужении области также может только увеличиться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление