3. Сходимость.

Понятие нормы дает возможность перенести на произвольные нормированные пространства понятие сходимости, известное для числовых последовательностей.

Определение. Последовательность элементов нормированного пространства В называется сходящейся к элементу если для любого положительного числа можно указать такой номер что при всех имеет место неравенство

Тот факт, что последовательность сходится к элементу обозначается или Элемент называется пределом последовательности

Очевидно, сходимость в В эквивалентна сходимости числовой последовательности:

Упражнение Доказать, что можно переходить к пределу под знаком нормы Точнее, если в В, то

Решение. На основании неравенства (2.1)

Наряду со сходящимися последовательностями часто бывает необходимо рассматривать сходящиеся ряды. Пусть задан ряд

членами которого являются элементы пространства В. Сумма называется частичной суммой ряда (3.1). Ряд (3.1) называется сходьщимцся, если существует предел частичных сумм при Элемент пространства В называется суммой ряда (3.1). При этом пишут