Главная > Математика > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Метод равномерного выгорания.

Изложенный выше метод расчета характеристик теплового взрыва, основанный на уравнениях (1.2) — (1.3), может быть назван методом равномерного нагрева (отсутствие распределения температуры). Одним из авторов [57] был предложен другой метод расчета характеристик, приводящий в отличие от предыдущего к элементарной формуле для временных характеристик. Этот метод можно назвать методом равномерного выгорания, так как он основан на предположении об отсутствии распределения по объему Вместо системы (1.1) решается система уравнений

где Очевидно, здесь зависит только от и в уравнении (3.1) и играет роль параметра. Такое допущение менее ограничительно, чем предположение об отсутствии распределения температуры, и позволяет получать зависимость характеристик от области и от а.

Мы используем здесь аналог теоремы Тихонова, не обоснованный для системы (1.1). Однако здесь речь идет о расчетном методе, правильность которого устанавливается в конечном счете проверкой результатов.

Обозначим через 60 кршическое значение в задаче

Очевидно, при задача (3.1) разрешима при всех следовательно, решение системы (3.1), (3.2) существует и ограничено при всех Причем максимальная по времени (или по температура достигается при При задача (3.1) имеет решение лишь в некотором интервале где является меньшим корнем уравнения

Соответственно этому система (3.1), (3.2) разрешима лишь в конечном интервале изменения Согласно сказанному критическим значением следует считать

Вводя параметр по формуле (ср. (1.4))

для глубины предвзрывного разложения мы получим формулу (2.5). Как и выше, при выполнении условия (2.9) система (3.1) — (3.2) перестает быть разрешимой.

Расчет временных характеристик требует знания зависимости от Мы рассмотрим случай бесконечного круглого цилиндра при когда решение задачи (3.1) задается согласно (2.2.2) формулой (мы берем минимальное устойчивое решение)

так что

В выражениях (3.4) — (3.6) в данном случае следует положить

Если положить при при (см. (2.5)), то согласно (3.2), (3.7) функция

определяет период индукции при и время достижения максимальной температуры при Интеграл (3.8) выражается через элементарные функции. Отекая вычисления, приведем результат. Пусть

Тогда

Особенно простое выражение получается для критического периода индукции

Как и в формуле (2.11), при имеем

и (3.9), как и (2.11), теряет смысл в области (2.9).

Интересно сопоставить формулы (2.11) и (3.9) при одинаковых значениях Как говорилось выше, формула (2.11) является точной при Формула (3.9) относится к другому крайнему случаю Для цилиндрической области, используя формулы п. 2.2, можно показать, что точная зависимость является невозрастающей функцией а. Кроме того, метод равномерного выгорания приводит к увеличению следовательно, уменьшению временных характеристик. Так что из общих соображений следует, что формулы (2.11) и (3.9) связаны неравенством

причем отклонение складывается из ошибки метода равномерного выгорания и изменения при изменении а от нуля до бесконечности.

Таблица 3 (см. скан)

Из табл. 3, где приведены значения При и различных значениях видно, что отклонение небольшое, оно увеличивается с ростом и достигает 10% при Это говорит как о слабой зависимости от так и о малой погрешности метода равномерного выгорания.

Таблица 4 (см. скан)

Табл. 4, где приведены критические значения при различных значениях показывает, что расхождение (относительное) между уменьшается с уменьшением

Успешное применение системы обыкновенных уравнений (1.2) — (1.3), не связанной с геометрией области, в задачах о тепловом взрыве говорит о том, что основная зависимость как от а, так и от области учитывается параметром точнее, величиной (см. (1.4)). Это позволяет надеяться, что формулы (3.9) — (3.10), найденные для цилиндрической области при окажутся хорошими расчетными формулами для любой области при любом а.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление