Главная > Математика > Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. О характеризании элемента наилучшего приближения и алгоритме его построения

При фиксированном функция является выпуклой, поскольку для любых выполняется неравенство Задача о наилучшем приближении элемента

X посредством множества есть задача условной минимизации

Для ее численного решения можно использовать любой известный алгоритм минимизации выпуклой функции. Но наиболее эффективны алгоритмы, построенные с учетом специфики функционала которую можно использовать тогда, когда известны характеристические свойства элемента наилучшего приближения, или хотя бы необходимые условия экстремума. Глубокие теоремы о характеризации элементов наилучшего приближения установлены для конкретных норм и классов К. О них речь пойдет далее. Здесь для общих пространств приводится простая теорема, опирающаяся на хорошо известную теорему об отделимости (см., напр., [23]).

Теорема 7. Если непересекающиеся выпуклые множества из нормированного пространства X и одно из них содержит внутреннюю точку, тогда существует линейный непрерывный функционал для которого

Теорема 8. Пусть К — выпуклое множество в нормированном пространстве Элемент является элементом наилучшего приближения из К для тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный функционал для которого

Необходимость. Пусть у — элемент наилучшего приближения, т.е. где По определению расстояния открытый шар не пересекается с К. В силу теоремы об отделимости найдется линейный непрерывный функционал такой, что числа

связаны неравенством Очевидно,

поэтому Поскольку непрерывен, то для замкнутого шара будет Ввиду того, что выполняется неравенство значит,

Достаточность. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что нулевой элемент пространства, и будем использовать уже введенные обозначения Допустим, что у не является ближайшим из К элементом для значит, существует и тогда имеет место неравенство

которое противоречит условию (2.11). Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление