Главная > Математика > Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Сильная единственность полинома наилучшего приближения

Теорема 4 позволяет установить единственность многочлена наилучшего приближения для предполагая существование

двух многочленов наилучшего приближения убеждаемся с помощью (5.8), что многочлен имеет не менее нулей и, тем самым, приходим к противоречию. В этом пункте дается усиленный вариант теоремы о единственности.

Теорема 6. Пусть система функций удовлетворяет условию Хаара, полином наилучшего приближения для Существует константа такая, что для любого полинома выполняется неравенство

Доказательство. Пусть чебышевский альтернанс для Имеем

где в противном случае по теореме отделимости найдутся числа для которых

а тогда полином чередует знаки в точках и поэтому имеет нулей. Соотношение (5.10) означает, что найдутся числа такие, что (если бы при некотором было бы то однородная система уравнений относительно имела бы нетривиальное решение и, значит, ее определитель был бы равен нулю), поэтому для любого полинома

В этой сумме при есть ненулевые и, следовательно, положительные слагаемые. В силу компактности множества

будет

Имеем

поэтому неравенство (5.9) выполняется при

Здесь теорема о сильной единственности доказана для пространства На самом деле, она справедлива для системы, удовлетворяющей условию Хаара на произвольном компакте

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление