Главная > Математика > Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.2. Характеризация наилучшей дроби

В случае аппроксимации рациональными дробями имеют место теоремы об оценке снизу величины и характеристических свойствах дроби наилучшего приближения, обобщающие соответствующие результаты полиномиальной аппроксимации. Здесь рассматривается класс хотя рассуждения сохраняют силу для дробей по системе функций удовлетворяющей условию Хаара. Далее степень многочлена

Теорема 2 (Валле-Пуссен). Пусть Если существует набор точек такой, что то

Доказательство. Допустим, что существует такая, что тогда для разности будет и поэтому она имеет не менее нулей, а поскольку то и многочлен имеет нуль, но . Противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3 (П.Л. Чебышев). Пусть Для того чтобы была дробью наилучшего приближения для необходимо и достаточно, чтобы нашелся набор для которого

где постоянная не зависит от номера

Необходимость. Предположим, что не существует набора из точек, удовлетворяющего условию (7.3). Повторяя доказательство необходимости условий теоремы Чебышева для многочленов построим отрезки так, что каждый отрезок пересекается либо только с либо только с соседние отрезки пересекаются с

разными из множеств Здесь Представим многочлен в виде где Это возможно, поскольку Тогда при малых А будет на и

Рассуждения, аналогичные доказательству теоремы Колмогорова (см, п. 5.2.), позволяют выбрать А так, что Достаточность условий теоремы следует из теоремы Валле-Пуссена.

С помощью теоремы 3 можно установить единственность дроби наилучшего приближения для предположив существование двух дробей из наилучшего приближения и применяя (7.3), надо убедиться в том, что числитель разности

имеет менее чем нулей, в то время как

Дробно-рациональная аппроксимация, как и полиномиальная, обладает свойством сильной единственности [89]: если для функции дробь наилучшего приближения не принадлежит множеству то существует константа такая, что для любой выполняется неравенство

Доказательство этого утверждения опирается на тот очевидный факт, что разность двух дробей имеет не более нулей и на то, что множество обладает в точке касательным чебышевским подпространством размерности

Вопрос о наличии констант у, равномерно ограниченных на классах функций, рассматривался А.В. Мариновым [48].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление