вершины треугольника
Точки указанной регулярной сетки удобно записать следующим образом
где
Произвольную же точку
из
можно представить в виде:
Координаты точек
называются барицентрическими координатами.
Рассмотрим подробнее случай малых
Пусть
многочлен степени 1
однозначно определяется условиями интерполяции в вершинах
треугольника
и по формуле Лагранжа (10.9)
Фундаментальные полиномы интерполяции могут быть заданы в форме (рис. 10а)
Построив на каждом треугольнике
многочлен (10.10), на области
будем иметь кусочно-линейную функцию
(сплайн)
Другими словами,
есть сужение многочлена
на отрезок
Ясно, что
многочлены второй степени. Поскольку они интерполируют в трех точках одни и те же значения
то они тождественны. Равенство многочленов
на стороне
означает непрерывность сплайна
на
Непрерывность сплайна
на
установлена.
3) При
многочлен
на
имеет 10 коэффициентов, регулярная сетка построена посредством разбиения сторон треугольника на три равные части, содержит 10 узлов: из них 9 на сторонах треугольника (точки
со свойством
и одну в центре треугольника —
Фундаментальные многочлены интерполяции строятся из многочленов (10.13). Так, для узлов
выглядят следующим образом
Построенная на
кусочно-кубическая функция непрерывна.
Подобная конструкция легко осуществляется для произвольного
результате получается непрерывная сплайн-функция
Свойство дифференцируемости этой функции не гарантируется, поскольку в узлах сетки задаются лишь значения сплайна, но не его производных. В случае
на
можно построить гладкий сплайн. Изложим способ построения такого сплайна. Многочлен пятой степени имеет 21 коэффициент. Зададим в вершинах треугольника значения многочлена и его производных до второго порядка:
и в середине каждой из сторон зададим значения производной
в направлении вектора, ортогонального стороне и направленного, скажем, вовнутрь треугольника. Приведенные интерполяционные условия однозначно определяют многочлен
Построим такой многочлен
для каждого треугольника
На стороне, обозначим ее через В, общей для двух соседних треугольников, сплайн
непрерывен, поскольку
многочлен пятой степени, однозначно задается своим значением
значениями 1-й, 2-й производных на концах стороны В. Производная
вдоль нормали к стороне В является многочленом четвертой степени, однозначно определяемым но его значениям на концах отрезка и в его середине и значениям его производной на концах отрезка. Поэтому непрерывна на В.
Схема построения непрерывного сплайна
двух переменных, изложенная выше, может быть реализована и в случае произвольной конечной размерности.
Пусть область
представляет собой объединение конечного числа симплексов
при этом для любых
возможны лишь следующие случаи:
пусто, является общей вершиной, общим ребром, общей гранью симплексов
На каждом из симплексов
сплайн
будет многочленом вида
Этот многочлен содержит
коэффициентов. Для определения коэффициентов построим на
регулярную сетку, узлами которой являются точки пересечения трех пучков параллельных
граням плоскостей, разделяющих ребра симплекса на
равных частей (см. рис. 12). Построенная сетка состоит из
точек.
Задавая значения многочлена
в узлах сетки, мы однозначно определяем многочлен
Это проще сделать с помощью интерполяционной формулы Лагранжа (10.9). При
фундаментальными многочленами интерполяции являются многочлены
Рис. 12
где
Используя
нетрудно построить фундаментальные многочлены интерполяции при
для указанной регулярной сетки.