Главная > Математика > Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11.2. Приближение экспоненциальными суммами общего вида

Пусть функция одного переменного задана значениями на равномерной сетке Обозначим через множество всех функций являющихся

решениями однородных линейных разностных уравнений порядка не выше с постоянными коэффициентами:

где

натуральные, вещественные числа, причем под полиномом степени —1 следует понимать тождественный нуль. Опишем схему алгоритма. Будем считать, что После замены переменных получим новую сетку Пусть

— разностное уравнение, которому удовлетворяют заданные значения Коэффициенты можно определить, решая систему (11.8). Пусть далее корни характеристического уравнения

соответствующего разностному уравнению (11.8). Тогда можно представить в виде

(см. [21], гл. V), где определяется следующим образом: корень встречается раз в последовательности Величины одновременно либо действительные, либо комплексные, причем каждой паре комплексных параметров соответствует пара комплексно-сопряженных параметров Учитывая это и принимая во внимание выполненную замену переменных, преобразуем (11.10) к виду (11.7), т.е.

где вещественные числа, определяется следующим образом:

Таким образом, для вычисления нелинейно входящих параметров в (11.7) достаточно знать корни уравнения (11.9). Коэффициенты в (11.7) можно определить, решая систему линейных уравнений

Изложенная схема рассчитана на случай На практике число часто бывает неизвестно, кроме того, значения могут быть заданы с погрешностью, т.е. Описанный алгоритм будем использовать и в этих случаях.

Рассмотрим подробнее некоторые части алгоритма. Для определения коэффициентов в (11.9) рассмотрим переопределенную систему линейных уравнений (11.8). Нетривиальное решение этой системы определяется с точностью до постоянного множителя, следовательно, необходимо какое-либо нормирующее условие, например, одно из следующих трех:

В указанных выше практических ситуациях система (11.8) вместе с одним из нормирующих условий обычно становится несовместной. Будем решать систему (11-8) с условием (11.14) по методу наименьших квадратов, т.е. находить

где

Задача (11.15) сводится к решению системы линейных уравнений

где При этом, если т.е. для любого существуют , такие, что

то такая же линейная зависимость имеет место и в (11.16):

Решение системы (11.16) находим с помощью жордановых исключений [32] с выбором главного элемента по столбцу, исключая каждый раз разрешающую строку из дальнейшего рассмотрения. Для выявления линейной зависимости (11.17) введем параметр Если при исключении переменной элементы столбца у оставшихся строк удовлетворяют условию

то переменную оставляем неисключенной.

После окончания процесса исключения вычисляем ранг матрицы полагая где число неисключенных переменных. В случае решаем задачу (11.15) заново с известным теперь значением Таким образом, получаем коэффициенты и вычисляем каким-либо способом корни полинома Представим в виде (11.11) с неизвестными коэффициентами

Для определения а, решаем систему (11.12) по методу наименьших квадратов

Таким образом, получаем приближенное представление вида (11.11).

Задачу экспоненциальной аппроксимации не всегда удается решить удовлетворительно. Это объясняется, в частности, тем, что малое изменение функции часто влечет большое изменение коэффициентов наилучшей экспоненциальной суммы. Если задана с погрешностью, то результат, следовательно, может сильно отличаться от истинного.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление