Главная > Математика > Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.5. Всплески многих переменных

Кратномасштабный анализ в пространстве последовательность замкнутых подпространств, удовлетворяющая условиям:

6) существует такая, что последовательность является базисом Рисса в V.

КМА называется -регулярным если функция в условии 6) может быть выбрана так, что

для любого целого и любого мульти-индекса удовлетворяющего неравенству где и

Как отмечалось в одномерном случае (см. (12.20)), по можно определить так, что

и является о.н.б. подпространства

Имея КМА , функции можно построить КМА в . Пространства определяются как замыкание в алгебраического тензорного произведения на себя. Ортонормированный базис подпространства состоит из произведений Для получения ортонорминованного базиса в надо взять объединение последовательностей

В пространстве определяется всплесков вида где каждая из есть либо либо за исключением случая

Общая процедура построения всплесков многих переменных, не опирающаяся на тензорное произведение всплесков одного переменного, использующая бокс-сплайны, приведена в [92].

В заключение приведем понятие КМА, обобщающее ранее введенное. Далее С — множество комплексных чисел.

Пусть пространство функций где К подполе из С, инвариантное относительно операции Пусть задана решетка из и линейное преобразование (матрица) удовлетворяющие условиям

Из этих условий следует, что Определим оператор растяжения

и оператор сдвига

Пространство называется инвариантным относительно сдвигов, если

и инвариантным относительно растяжения 6, если

Для данных обозначим через наименьшее замкнутое подпространство инвариантное относитель но сдвигов, содержащее и пусть для к

Кратномасштабный анализ — это последовательность подпространств удовлетворяющая условиям:

6) существует набор функций константы такие, что и для всех

Ввиду 1), 4) масштабирующая вектор-функция удовлетворяет уравнению

при некоторых векторных коэффициентах Справедлива (см. [110])

Теорема 4. Пусть регулярный КМА в с векторной масштабирующей функцией Тогда существует набор из -регулярных функций таких, что набор вместе с образуют о.н.б. подпространств

Поскольку то существует последовательность матриц размером такая, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление