Главная > Математика > Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Аппроксимация, обеспечивающая наилучшую привязку

2.1. Постановка экстремальной задачи

Пусть заданное геофизическое поле, область визирования,

— фрагмент поля. Предположим, что для аппроксимации поля выбран некоторый линейный класс функций Обозначим Для

множество решений задачи (2.1),

— ошибка привязки и

— максимальная по ошибка привязки, где евклидово расстояние между точками и . С точки зрения точности привязки важно правильно выбрать функцию приближающую поле Результаты предыдущего параграфа свидетельствуют о том, что уменьшение величины не всегда приводит к повышению точности привязки. Следующий пример подтверждает сказанное.

Рис. 4

Пример Рассмотрим задачу привязки в метрике пространства в случае одноточечного множества визирования При определим непрерывную функцию на [0,1] (см. рис. 4):

линейна на отрезках [1-е, 1].

По теореме Чебышева (гл. I, п. 5.2) многочлен наилучшего приближения из для единственный и, поскольку набор образует чебышевский альтернанс для разности таковым является многочлен Как легко видеть, при будет и максимальная ошибка привязки достигается при

а для многочлена при достаточно малом выполняются неравенства

Естественно в качестве приближающей функции взять функции , для которой максимальная ошибка привязки минималь на.

Определение. Функция для которой

называется [85] функцией наилучшей привязки.

Минимизируемый на V функционал (см. (2.4)) имеет сложную структуру. В зависимости от свойств исходной функции и класса V этот функционал может быть многоэкстремальным или, наоборот, "точки" экстремума могут отсутствовать.

Пример 1б. Для функции в случае нормы пространства одноточечного множества визирования и подпространства многочленов 1-й степени имеет место равенство и не существует многочлена реализующего эту точную нижнюю грань (рис. 5а). Последовательность многочленов является минимизирующей. На рис. 5а для при указаны точки и величина

Рис. 5

Пример 1в. В условиях предыдущего» примера для функции имеем и каждый многочлен доставляет указанный (рис. 56). На этом рисунке для многочлена указаны точки и величина

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление