Главная > Математика > Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.4. Примеры региональных моделей атмосферы

Исходной информацией для построения трехмерных моделей температуры и давления являются числовые значения этих параметров для каждого месяца в узлах регулярной сетки

По переменным взята сетка (из 181 точки), обеспечивающая освещение крупномасштабных особенностей аэроклиматических полей температуры и давления воздуха. Именно эти особенности проявляются в полях среднемесячных значений, другие особенности полей отфильтровываются при осреднении. По переменной взята сетка

Исходя из особенностей функций и требований точности, для с помощью программы [56] были построены для каждого месяца приближающие функции в виде рациональной дроби

и для в виде комбинаций многочленов и экспонент

где коэффициенты 11, —3.6, —1.6 найдены с помощью программы [39], а коэффициенты с использованием программы [38].

Для построенных рациональных дробей среднеквадратическое уклонение принимает в зависимости от месяца значение от 1.1 до 2.0 градусов, общее число коэффициентов дроби равно 45 (35 коэффициентов в числителе и 10 коэффициентов в знаменателе).

Среднеквадратическое уклонение для экспоненциальных моделей давления в зависимости от месяца меняется в пределах от 1.7 до число коэффициентов равно 18.

Помимо среднеквадратической ошибки аппроксимации о качестве построенных приближений можно судить по близости исходных и восстановленных вертикальных профилей (рис. 19, сплошная линия — исходный, пунктирная — восстановленный), по степени схожести исходных полей с полями, восстановленными с помощью моделей (рис. 20).

Скорость ветра в рассматриваемом слое является более сложной, с точки зрения приближения, атмосферной характеристикой в сравнении с температурой и давлением. Поэтому в качестве исходной информации для построения трехмерных моделей зональной и меридиональной составляющих скорости ветра взяты числовые значения этих параметров в узлах сетки

т.е. при каждом фиксированном и каждой фиксированной высоте взята своя сетка узлов по для Густота сетки и число ее узлов определялись особенностями функции (количество экстремумов, величина

Рис. 19 (см. скан)

градиента и др.) Расчетным путем было проверено, что многочлены

не обеспечивают точности аппроксимации в пределах ошибок исходных данных. В качестве приближающих функций были взяты рациональные дроби

Для построения моделей использовалась программа [56]. Величина

Рис. 20 (см. скан)

среднеквадратической ошибки а колеблется в зависимости от месяца в пределах Число коэффициентов модели равно 120 (60 для каждой составляющей). Так же как для качество аппроксимации проверялось с помощью графиков изменения высоте (вертикальных профилей) составляющих скорости ветра и их аппроксимаций и степени схожести исходных полей изотах с полями, восстановленными с помощью модели. Сопоставление вертикальных профилей показало, что модели хорошо отражают характерные особенности составляющих ветра: положение экстремумов, седловин, ложбин и т.п. (рис. 21, сплошная линия — исходный, пунктирная восстановленный профиль). Трехмерная модель также хорошо сглаживает по переменным большие случайные ошибки в данных.

В приведенных выше примерах в качестве моделей использовались рациональные дроби и комбинации многочленов и экспонент. Однако для этих агрегатов нет такого способа, как для ортогональных многочленов (см. формулу (3.7) в § 3 гл. I), позволяющего произвести по заданному процедуру выбора коэффициентов

Рис. 21

оптимальным образом. Рассмотрим подробнее аппроксимацию ортогональными многочленами.

Пусть означает одну из рассмотренных выше характеристик атмосферы и заданы значения функции на прямоугольной сетке, состоящей из точек х

где

где заданные числа, и среднеквадратическая погрешность заданных значений

Обозначим через систему ортогональных на целочисленной равномерной сетке многочленов обозначает степень многочлена) (см., напр., [18]). Для построения аппроксимирующего многочлена используем многочлен вида

наилучшего среднеквадратического приближения для где

Требуется подобрать многочлен (8.3) с возможно меньшим числом ненулевых коэффициентов Для которого ошибка аппроксимации удовлетворяет неравенству

Коэффициенты многочлена наилучшего приближения являются коэффициентами Фурье (см. гл. I, § 3) по системе и вычисляются по формуле

где

Общее число коэффициентов полинома равно Обозначим

Где квадрат величины среднеквадратического уклонения по равенству Парсеваля равен

Пусть многочлен (8.3) удовлетворяет неравенству стр Как видно из формулы (8.5), вклад каждого коэффициента квадрат определяется величиной Чтобы выбрать наименьшее число коэффициентов, позволяющее сохранить заданную точность упорядочим последовательность величин по убыванию. Обозначим полученную последовательность через Найдем минимальный номер при котором выполняется неравенство

и выбросим из суммы (8.3) слагаемые с коэффициентами для которых Сумма оставшихся слагаемых в (8.3) является искомым аппроксимирующим многочленом.

Многочлен вида (8.3) для температуры заданной своими значениями на сетке (8.2), удовлетворяет неравенству стр при с общим числом коэффициентов равным 420. Уменьшение хотя бы одного из номеров приводит к нарушению неравенства. Применение изложенной методики позволяет оставить в полиноме только к слагаемых с сохранением точности

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление