Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Логика терминов и логика предложений

На сегодняшний день не существует точного логического анализа аристотелевских доказательств сведения несовершенных силлогизмов к совершенным. Старые историки логики, подобно Прантлю и Майеру, были философами и знали только «философскую логику», которая в XIX столетии, за очень небольшим исключением, стояла ниже научного уровня. Прантля и Майера уже нет в живых, но, быть может, возможно убедить ныне здравствующих философов, чтобы они прекратили писать по вопросам логики и ее истории до того, как они приобретут солидные знания в области так называемой

«математической логики». Иначе это было бы пустой тратой времени как для них, так и для их читателей. Мне кажется, что это замечание немаловажное.

Никто не может вполне понять аристотелевские доказательства, если не знает, что, кроме аристотелевской системы, существует еще другая система логики, более фундаментальная, чем теория силлогизма. Это — логика предложений. Давайте рассмотрим пример различия между логикой терминов, часть которой составляет аристотелевская логика, и логикой предложений. Кроме аристотелевского закона тождества «А присуще всякому А» или «Всякое А есть А», мы имеем еще другой закон тождества . «Если то Сравним эти две логические формулы:

Всякое есть . Если то .

Они различны в своих константах, которые я называю функторами: в первой формуле функтор читается «всякое — есть», во второй «если — то». Оба являются функторами от двух переменных, которые в данном случае тождественны. Но главное различие состоит в аргументах. В обеих формулах аргументами являются переменные, однако различного рода: значениями переменной являются термины, например «человек» или «растение». Из первой формулы мы получаем такие предложения, как «Все люди суть люди» или «Все растения суть растения». Значениями же переменной являются не термины, а предложения, например «Дублин расположен на Лиффи» или «Сегодня пятница»; следовательно, мы получаем из второй формулы предложения «Если Дублин расположен на Лиффи, то Дублин расположен на Лиффи» или «Если сегодня пятница, то сегодня пятница». Это различие между переменными терминами и переменными предложениями является основным различием между этими двумя формулами и, следовательно, между двумя системами логики, а так как предложения и термины принадлежат к различным семантическим категориям, это различие является существенным.

Первая система пропозициональной логики была открыта полстолетия спустя после Аристотеля: это была логика стоиков. Логика стоиков является не системой положений, а системой правил вывода. Так называемый modus ponens, теперь называемый правилом отделения;

«Если а, то и а; следовательно, является одним из наиболее важных и основных правил логики стоиков. Переменные это пропозициональные переменные, так как на их место могут быть осмысленно подставлены лишь предложения. Современная система логики предложений была создана только в 1879 году великим немецким логиком Готтлобом Фреге. Другой выдающийся логик XIX столетия, Чарльз Сандерс Пирс, сделал важный вклад в эту логику своим открытием логических матриц (1885). Уайтхед и Рассел — авторы «Principia Mathelmatica» («Принципы математики») — позднее положили эту систему логики под названием «Theory of Deduction» («Теория дедукции») в основу всей математики. Все это было совершенно неизвестно философам XIX столетия. По-видимому, и по сей день философы чужды идее логики предложений. Майер говорит, что логика стоиков, которая на самом деле представляет собой шедевр, не уступающий логике Аристотеля, дает бедную и бесплодную картину формально-грамматической неустойчивости и отстутствия какого-либо принципа; в сноске он добавляет, что следует согласиться с отрицательной оценкой этой логики со стороны Прантля и Целлера. Британская энциклопедия 1911 года коротко говорит о логике стоиков, что «их поправки и изощренное усовершенствование аристотелевской логики в большинстве случаев бесполезны и педантичны».

По всей вероятности, Аристотель не подозревал о существовании другой системы логики, кроме своей теории силлогизма. Тем не менее он интуитивно использует законы пропозициональной логики в своих доказательствах несовершенных силлогизмов и даже излагает во второй книге «Первой аналитики» три положения, относящиеся к этой логике. Первое из них — это закон транспозиции. «Когда два (явления) так относятся друг к другу, — пишет он, — что если есть одно, необходимо есть и

другое, то если второго нет, не будет и первого». В терминах современной логики это означает, что всякий раз, когда истинна импликация формы «Если а, то то должна быть также истинна и другая импликация формы то Второе положение — это закон гипотетического силлогизма. Аристотель поясняет его следующим примером: «...если нечто, (например) В, необходимо велико, когда другое, (например) А, бело, и если С необходимо не бело, когда В велико, то С не бело, когда бело». Это означает: всякий раз, когда две импликации формы «Если а, то и то 7» истинны, то должна быть также истинна третья импликация — «Если а, то 7». Третье утверждение является применением двух предыдущих законов к новому случаю и, как ни странно, неправильным. Этот весьма любопытный отрывок следующий:

«...невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть и когда его нет: я имею в виду, например, (такое отношение), что когда бело, то В необходимо велико, и что когда не бело, то В (также) необходимо велико... В таком случае, если В не велико, то и не может быть белым. Если же предположить) что В необходимо велико, когда не бело, то с необходимостью вытекает, что В велико, когда оно не велико, а это невозможно».

Хотя выбранный Аристотелем пример и неудачен, смысл его аргументов ясен. В терминах современной логики он может быть выражен так: две импликации формы «Если а, то и «Если то не могут быть вместе истинными. В самом деле, по закону транспозиции мы получаем из первой импликации посылку «Если то а эта посылка вместе со второй импликацией по закону гипотетического силлогизма дает заключение «Если то Согласно Аристотелю, это заключение невозможно.

Последнее замечание Аристотеля ошибочно. Импликация «Если то антецедент которой является отрицанием ее консеквента, не невозможна; она может

быть истинной и давать в качестве заключения консеквент согласно закону логики предложений: «Если (если не-р, то р), то р» Комментируя это место, Майер говорит, что здесь получается результат, несовместимый с законом противоречия и, следовательно, абсурдный. Это примечание лишний раз изобличает непонимание Майером логики. Закону противоречия противоположна вовсе не импликация то а лишь конъюнкция и не

Несколько лет спустя после Аристотеля математик Евклид дал доказательство математической теоремы, которое подразумевает положение «Если (если не-р, то р), то Евклид утверждает: «Если произведение двух целых чисел делимо на простое число то, если а не делимо на на него должно быть делимо Предположим теперь, что и что произведение а делимо на Из этого предположения вытекает, что «Если а не делимо на то а делимо на Здесь мы имеем пример истинной импликации, антецедент которой является отрицанием ее консеквента. Из этой импликации Евклид выводит теорему: «Если делимо на простое число то и а делимо на

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление