Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Доказательства посредством обращения

Доказательства несовершенных силлогизмов посредством обращения посылок — простейший и чаще всего используемый прием Аристотеля. Проанализируем два примера. Доказательство модуса Festino второй фигуры выглядит следующим образом: «Если М не присуще ни одному но присуще некоторому X, то необходимо не присуще некоторому а так как отрицательное суждение обратимо, то и не будет присуще ни одному

М. Но ведь предположено, что М присуще некоторому X, так что не будет присуще некоторому X и получается силлогизм по первой фигуре»

Это доказательство базируется на двух предпосылках. Одна из них — закон обращения предложений вида Е:

(1) Если М не присуще ни одному то не присуще ни одному

Другая — модус первой фигуры:

(2) Если не присуще ни одному присуще некоторому X, то не присуще некоторому

Из этих предпосылок мы должны вывести модус

(3) Если М не присуще ни одному присуще некоторому то не присуще некоторому

Аристотель осуществляет это доказательство интуитивно. Анализируя его интуиции, мы находим два положения исчисления высказываний: одно из них — это вышеупомянутый закон гипотетического силлогизма, который может быть представлен в следующем виде:

(4) Если (если то то [если (если q, то ), то (если р, то r)].

Другое положение гласит:

(5) Если (если то то (если то

Это положение вслед за Пеано называется в «Principia Mathematica» принципом множителя. Оно показывает, что мы можем «умножать» обе стороны импликации на общий множитель, то есть можем прибавить при помощи слова новое предложение

Мы исходим из этого положения (5). Так как это пропозициональные переменные, мы можем на их место подставить посылки аристотелевской логики. Подставляя не присуще ни одному вместо не присуще ни одному М вместо и присуще некоторому X» вместо мы получаем из антецедента (5)

закон обращения (1) и можем отделить консеквент (5) в качестве нового положения. Это новое положение имеет форму:

(6) Если М не присуще ни одному присуще некоторому X, то не присуще ни одному присуще некоторому

Консеквент этого положения тождествен с антецедентом положения (2). Следовательно, мы можем применить к (6) и (2) закон гипотетического силлогизма, подставляя вместо конъюнкцию не присуще ни одному присуще некоторому X», вместо конъюнкцию не присуще ни одному присуще некоторому X», а вместо предложение не присуще некоторому X». Применяя дважды правило отделения, мы получаем из этого нового положения модус Festino.

Второй пример, который я хочу проанализировать, несколько иной. Это упоминавшееся выше доказательство модуса Disamis Мы должны доказать следующий несовершенный силлогизм:

(7) Если присуще всякому присуще некоторому то присуще некоторому

Доказательство основывается на модусе Darii первой фигуры:

(8) Если присуще всякому присуще некоторому то присуще некоторому и

на законе обращения предложений вида который применяется дважды, один раз в форме:

(9) Если присуще некоторому то присуще некоторому

а второй раз в форме:

(10) Если присуще некоторому то присуще некоторому

В качестве вспомогательных положений пропозициональной логики мы имеем закон гипотетического силлогизма и следующее положение, которое несколько отличается от положения (5), но также может быть названо принципом множителя:

(11) Если (если то то (если то Различие между (5) и (11) состоит в том, что в (11) общий множитель стоит не на втором месте, как в (5),

а на первом. Так как конъюнкция коммутативна и эквивалентно это различие не сказывается на правильности положения.

Доказательство, которое дает Аристотель, начинается с обращения посылки присуще некоторому Следуя этой процедуре, подставим в (11) на место посылку присуще некоторому на место посылку присуще некоторому , а на место посылку присуще всякому С помощью такой подстановки мы получаем из антецедента положения (11) закон обращения (9), и, следовательно, мы можем отделить консеквент (11), который гласит:

(12) Если присуще всякому присуще некоторому то присуще всякому присуще некоторому

Консеквент (12) тождествен с антецедентом (8). Применяя закон гипотетического силлогизма, мы можем из (12) и (8) получить силлогизм:

(13) Если присуще всякому присуще некоторому 5, то присуще некоторому

Этот силлогизм, однако, еще не требуемый модус Disarms, а лишь Datisi. Конечно, модус Disamis может быть выведен из Datisi путем обращения его консеквента согласно положению (10), то есть посредством применения гипотетического силлогизма к (13) и (10). Однако, по-видимому, сам Аристотель избрал иной путь: вместо выведения Datisi и обращения его заключения он обращает заключение Darii, получая силлогизм:

(14) Если присуще всякому присуще некоторому то присуще некоторому

а затем он интуитивно применяет к (12) и (14) закон гипотетического силлогизма. Силлогизм (14) является модусом четвертой фигуры, называемым Dimaris. Как мы уже знаем, Аристотель упоминает этот модус в начале книги второй «Первой аналитики».

Подобным же образом мы могли бы проанализировать и все другие доказательства посредством обращения. Из этого анализа следует, что если к совершенным силлогизмам первой фигуры и законам обращения мы добавим три закона логики предложений, а именно закон

гипотетического силлогизма и два закона множителя, мы получим строго формализованные доказательства всех несовершенных силлогизмов, за исключением Вагосо и Bocardo. Для доказательства этих модусов требуются другие положения пропозициональной логики.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление