Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Доказательства посредством выделения

Доказательства посредством обращения и per impossibile достаточны для того, чтобы все несовершенные силлогизмы свести к совершенным. Однако Аристотелем дается еще третий вид доказательств — так называемые доказательства посредством выделения, или Эти доказательства, хотя и не имеют большого значения для системы, интересны сами по себе, и есть смысл внимательно их изучить.

В «Первой аналитике» имеется только три места, где Аристотель дает краткую характеристику этого вида

доказательства. Первое связано с доказательством обращения посылок вида второе — это доказательство модуса Darapti, третье — модуса Bocardo. Слово встречается только во втором случае, однако не может быть сомнения, что и в двух других местах также имеются в виду доказательства посредством выделения.

Начнем с первого места, которое гласит «Если не присуще ей одному В, то и В не будет присуще ни одному А. Ибо если бы оно было присуще чему-нибудь, например С, то было бы неправильно (заключить), что А не присуще ни одному В, так как С есть (также) часть этих В». Обращение посылки здесь доказывается per impossibile, но это доказательство per impossibile в свою очередь основывается на обращении посылки которое доказывается посредством выделения. Доказательство путем выделения требует введения нового термина, называемого «выделенным термином»; в данном случае С. Вследствие неясности приведенного отрывка о смысле этого С и о логической структуре доказательства можно лишь строить догадки. Я попытаюсь разъяснить этот вопрос, исходя из современной формальной логики.

Мы должны доказать закон обращения посылок вида «Если В присуще некоторому то А присуще некоторому В». Аристотель вводит для этой цели новый термин С, из его слов следует, что С включается в В так же, как и в Мы получаем, таким образом, две посылки: «В присуще всякому С» и «А присуще всякому С». Из этих посылок мы можем посредством силлогизма (с помощью модуса Darapti) вывести заключение «А присуще некоторому В». Такова первая

интерпретация, данная Александром. Однако можно возразить, что эта интерпретация предполагает модус Darapti, который еще не доказан. Александр поэтому предпочитает другую интерпретацию, которая не основывается на силлогизме: он утверждает, что термин С является единичным термином, данным нам в чувственном восприятии, и что доказательство посредством выделения состоит в некоем роде чувственной очевидности. Однако это объяснение, кстати сказать, принимаемое Майером, не подтверждается текстом «Первой аналитики». Аристотель не говорит, что С — это индивидуальный термин. Кроме того, доказательство при помощи восприятия не есть логическое доказательство. Если мы хотим логически доказать, что посылка «В присуще некоторому А» может быть обращена, причем осуществить это доказательство посредством третьего термина С, то мы должны найти положение, которое связывало бы эту посылку с предложением, содержащим С.

Конечно, было бы неверно просто сказать, что если В присуще некоторому то В присуще всякому присуще всякому однако небольшое видоизменение консеквента этой импликации легко разрешает нашу проблему. Мы должны поставить перед консеквентом квантор существования (слово «существует»), связывающий переменную С. Ибо если В присуще некоторому всегда существует такой термин С, что В присуще всякому присуще всякому С. С может быть или общей частью или же термином, включенным в эту общую часть. Если, например, некоторые греки — философы, то у терминов «грек» и «философ» существует общая часть, а именно «греческий философ», и очевидно, что все греческие философы — греки и все греческие

философы — философы. Поэтому мы можем сформулировать следующее положение:

(1) Если В присуще некоторому то существует такое С, что В присуще всякому присуще всякому С.

Это положение очевидно. Очевидно также и обращение (1). Если существует общая часть, то В должно быть присущим некоторому Поэтому мы имеем:

(2) Если существует такое С, что В присуще всякому присуще всякому С, то В присуще некоторому

Возможно, что Аристотель интуитивно чувствовал истинность этих положений, не будучи в состоянии их явно сформулировать, и понимал их связь с обращением посылок вида хотя и не увидел всех дедуктивных шагов, ведущих к этому результату. Я дам здесь полное формальное доказательство обращения посылок вида начиная с положений (1) и (2) и применяя к ним некоторые законы пропозициональной логики и правила кванторов существования.

Следующее положение пропозициональной логики было, конечно, известно Аристотелю:

Это коммутативный закон конъюнкции. Применяя его к посылкам «В присуще всякому С» и «А присуще всякому С», мы получаем:

(4) Если В присуще всякому присуще всякому С, то присуще всякому присуще всякому С.

К этому положению я применю правила кванторов существования. Имеется два таких правила: оба формулируются по отношению к истинной импликации. Первое правило гласит: перед консеквентом истинной импликации допустимо ставить квантор существования, связывающий свободную переменную, входящую в консеквент. Из этого правила следует, что:

(5) Если В присуще всякому присуще всякому С, то существует такое С, что присуще всякому присуще всякому С.

Второе правило гласит: перед антецедентом истинной импликации допустимо ставить квантор существования, связывающий свободную переменную, входящую в антецедент, если только эта переменная не входит в качестве свободной переменной в консеквент. уже связано в консеквенте, поэтому, согласно этому правилу, мы можем связать С в антецеденте и таким образом получить формулу:

(6) Если существует такое С, что В присуще всякому присуще всякому С, то существует такое С, что присуще всякому присуще всякому С.

Антецедент этой формулы тождествен с консеквентом положения (1); отсюда по закону гипотетического силлогизма следует, что:

(7) Если В присуще некоторому то существует такое С, что присуще всякому присуще всякому С.

Из (2), меняя местами мы получаем положение:

(8) Если существует такое С, что присуще всякому присуще всякому С, то присуще некоторому В,

а из (7) и (8) мы можем вывести с помощью гипотетического силлогизма закон обращения посылок вида

(9) Если В присуще некоторому то присуще некоторому В.

Из вышеизложенного мы видим, что истинное основание обратимости посылок вида это коммутативность конъюнкции. Восприятие индивидуального термина, присущего и может интуитивно убедить нас в обратимости этой посылки, но оно недостаточно для логического доказательства. Поэтому нет необходимости принимать С в качестве единичного термина, данного в восприятии.

Теперь может быть легко понято доказательство посредством выделения модуса Darapti. Аристотель сводит этот модус к первой фигуре с помощью обращения, а затем говорит: «Это можно доказать также и посредством приведения к невозможному и выделением. Так как оба

(термина) присущи всякому то, если взять некоторую часть из например этой (части) будет присуще как так и а поэтому и будет присуще некоторому Заслуживает внимания комментарий Александра к этому месту. Он начинает с критического замечания. Если общий термин, включенный в то мы получим в качестве посылок присуще всякому присуще всякому Однако это та же комбинации посылок, что и присуще всякому присуще всякому и проблема остается той же, что и прежде. Следовательно, продолжает Александр, не может быть общим термином. Это единичный термин, данный в восприятии, термин, очевидно, существующий как в так и в а все доказательство посредством выделения является не чем иным, как доказательством через восприятие. Выше мы уже сталкивались с этим мнением. В его поддержку Александр приводит три аргумента. Во-первых, если отвергнуть его объяснение, то мы останемся вовсе без доказательства; во-вторых, Аристотель не говорит, что присущи всякому но просто в-третьих, предложений с он не обращает. Ни один из этих аргументов не убедителен: в нашем примере нет нужды в обращении; Аристотель часто опускает знак общности там, где он должен быть

употреблен; что же касается первого аргумента, то мы уже знаем, что существует другое, лучшее объяснение. Модус

(10) Если присуще всякому присуще всякому то присуще некоторому

получается из подстановки в положение (2) — возьмем вместо вместо А:

(11) Если существует такое С, что присуще всякому присуще всякому С, то присуще некоторому

и из положения:

(12) Если присуще всякому присуще всякому то существует такое С, что присуще всякому присуще всякому С.

Положение (12) мы можем доказать, применяя к тождеству:

(13) Если присуще всякому присуще всякому С, то присуще всякому присуще всякому С

первое правило кванторов существования, таким образом, получая:

(14) Если присуще всякому присуще всякому С, то существует такое С, что присуще всякому присуще всякому С

и подставляя в (14) букву 5 на место свободной переменной С, то есть совершая подстановку только в антецеденте, так как недопустимо подставлять что-либо на место связанной переменной.

Из (12) и (11) модус Darapti получается с помощью гипотетического силлогизма. Мы снова видим, что выделенный термин С является общим термином, подобно А или В. И, конечно, не следует обозначать его скорее термином чем С.

Более важным представляется третье место, содержащее доказательство посредством выделения модуса Bocardo. Это место гласит: «Ибо если присуще всякому

некоторому не присуще, то необходимо не присуще некоторому Ведь если бы было присуще всякому всякому то и было бы присуще всякому но оно (по предположению) присуще не было. Это можно доказать также и без приведения к невозможному, если берется такая часть которой не присуще». Я проанализирую это доказательство таким же образом, как и другие.

Обозначим через С ту часть 5, которой не присуще мы получаем два предложения: «5 присуще всякому С» и не присуще ни одному С». Из первого предложения и посылки присуще всякому мы получаем по модусу Barbara следствие присуще всякому С», которое вместе со вторым предложением не присуще ни одному С» дает по модусу Felapton требуемое заключение не присуще некоторым Проблема состоит в том, как получить из первоначальных посылок присуще всякому и не присуще некоторому предложения с С. Первая из этих посылок для нашей задачи бесполезна, так как она не содержит из второй посылки мы обычным способом не можем получить наши предложения, так как она частная, а наши предложения — общие. Однако, если мы введем квантор существования, мы сможем их получить в силу истинности следующего положения:

(15) Если не присуще некоторому то существует такое С, что 5 присуще всякому не присуще ни одному С.

Истинность этого положения станет очевидной, если мы поймем, что требуемое условие для С всегда выполняется той частью которой не присуще

Отправляясь от положения (15), мы можем на основании модусов Barbara и Felapton доказать модус Воcardo при помощи некоторых законов пропозициональной логики и второго правила кванторов существования. Так как это доказательство достаточно длинное, я дам здесь лишь его набросок.

В качестве посылок мы принимаем, кроме (15), еще и оду с Barbara с переставленными посылками:

(16) Если присуще всякому присуще всякому то присуще всякому С,

и модус Felapton также с переставленными посылками:

(17) Если присуще всякому не присуще ни одному С, то не присуще некоторому

К этим посылкам мы можем применить одно сложное положение пропозициональной логики, которое (и это весьма любопытно) было известно еще перипатетикам, а Александром приписывается самому Аристотелю. Это положение называется «синтетической теоремой», и гласит: «Если заключают в себе 7, а вместе с заключает в себе то вместе с заключает в себе в» Поставив на место а, (3 и 7 соответственно первую посылку, вторую посылку и заключение модуса Barbara, а на место и соответственно вторую посылку и заключение модуса Felapton, мы получим формулу:

(18) Если присуще всякому присуще всякому а не присуще ни одному С, то не присуще некоторому

Эта формула может быть преобразована с помощью другого закона пропозициональной логики в следующую:

(19) Если присуще всякому не присуще ни одному С, то если присуще всякому не присуще некоторому

К этой формуле может быть применено второе правило кванторов существования. Действительно, С встречается в качестве свободной переменной в антецеденте (19), но

не в консеквенте. Согласно этому правилу, мы получаем положение:

(20) Если существует такое С, что присуще всякому С, а не присуще ни одному С, то если присуще всякому не присуще некоторому

Из посылки (15) и положения (20) с помощью гипотетического силлогизма получается следствие:

(21) Если не присуще некоторому то если присуще всякому не присуще некоторому

а это есть импликационная форма модуса Bocardo.

Конечно, чрезвычайно маловероятно, чтобы Аристотель видел все шаги этой дедукции; однако важно отметить, что его интуиции относительно доказательства посредством выделения были правильны. Стоит процитировать комментарий Александра, касающийся этого доказательства модуса Bocardo. «Возможно, — говорит он, — доказать этот модус, не принимая некоторого, данного в восприятии единичного но принимая такие 5, ни одному из которых не присуще В самом деле: не будет присуще ни одному из этих всякому; такое сочетание посылок дает в качестве заключения, что не присуще некоторому Здесь, наконец, Александр признает, что выделенный термин может быть общим.

Доказательства посредством выделения не имеют большого значения в аристотелевской силлогистике как системе. Все теоремы, которые доказываются посредством выделения, могут быть доказаны с помощью обращения или per impossibile. Однако они в высшей степени замечательны сами по себе, так как содержат новый логический элемент, значение которого было не вполне ясно для самого Аристотеля. Возможно, это и послужило основанием, почему он опустил этот вид доказательств в своей последней седьмой главе книги первой «Первой аналитики», где он подводит итог своему систематическому исследованию силлогистики. Никто

после него не понимал этих доказательств. Понять их было суждено лишь современной формальной логике, объясняющей их при помощи идеи квантора существования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление