Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Отбрасываемые формы

Аристотель в своем систематическом исследовании силлогистических форм не только доказывает истинность одних из них, но также показывает, что все другие ложны и должны быть отброшены. Давайте разберем на примере, как поступает Аристотель, когда он отбрасывает ложные формы силлогизма. Пусть даны следующие две посылки: А присуще всякому не присуще ни одному С. Это первая фигура А является первым, или большим, термином, В — средним, а С - последним, или меньшим, термином. Аристотель пишет:

«Если же первый (термин) присущ всему среднему, а средний не присущ ни одному последнему, то для крайних (терминов) нельзя будет построить никакой силлогизм; ведь из того, что здесь имеется, ничего не следует с необходимостью, ибо (в таком случае) первый (термин), возможно, присущ и всем, и ни одному последнему, так, что ни частное, ни общее (заключение) не вытекает здесь с необходимостью. Но так как (здесь) ничего с необходимостью не вытекает, - то нельзя построить силлогизм. Пусть терминами для случая, (когда первый термин) присущ всему (последнему), будут: живое существо — человек — лошадь; и для случая, (когда он ему) вовсе не присущ: живое существо — человек — камень»

По сравнению с краткостью и неясностью доказательств посредством выделения вышеприведенное место довольно полно и ясно. Тем не менее я боюсь, что оно не было должным образом понято комментаторами. Согласно Александру, Аристотель в этом отрывке показывает, что из одной и той же комбинации посылок может быть выведено при одних конкретных терминах общеутвердительное заключение, а при некоторых других конкретных терминах — общеотрицательное. Это и является, утверждает Александр,

наиболее очевидным признаком того, что данная комбинация посылок не имеет силлогистической силы, так как посредством нее доказываются противоположные и противоречащие предложения, которые взаимно уничтожают друг друга. То, что говорит Александр, конечно, является заблуждением, так как из асиллогистической комбинации посылок ничего не может быть формально выведено и ничего не может быть с ее помощью доказано. Кроме того, предложения с различными конкретными субъектами и предикатами не являются ни противоположными, ни противоречащими друг другу. И снова Майер приводит указанные Аристотелем термины в силлогистическую форму:

(см. скан)

(посылки выделены им как и в силлогизме) и говорит, что здесь из логически эквивалентных посылок вытекают как общеутвердительное, так и общеотрицательное положение. Ниже мы увидим, что

предложенные Аристотелем термины не предназначены для того, чтобы приводиться к силлогистической форме, и что ничего формально не вытекает из посылок тех мнимых силлогизмов, на которые ссылается Майер. Ввиду такого недоразумения возникает необходимость в логическом анализе этого вопроса:

Если мы хотим доказать, что следующая силлогистическая форма:

(1) Если присуще всякому не присуще ни одному С, то А не присуще некоторому С,

не есть силлогизм, и, следовательно, не есть истинная логическая теорема, мы должны показать, что существуют такие значения переменных которые, делая истинными (верифицируя) посылки, не верифицируют заключения. В самом деле, импликация, содержащая переменные, истинна только тогда, когда все значения переменных, которые верифицируют антецедент, верифицируют также и консеквент. Самый легкий способ показать это — найти конкретные термины, верифицирующие посылки «А присуще всякому В» и «В не присуще ни одному С», но не верифицирующие заключение «А не присуще некоторому С». Аристотель нашел такие термины, взяв «живое существо» вместо А, «человек» вместо В, «лошадь» вместо С. При этом посылки «Быть живым существом присуще всякому человеку», или «Все люди суть живые существа» и «Быть человеком не присуще ни одной лошади», или «Никакие лошади не суть люди» верифицируются, заключение же «Быть живым существом не присуще некоторой лошади» или «Некоторые лошади не суть живые существа» — ложно». Формула (1), следовательно, не является силлогизмом. На том же основании не будет силлогизмом и следующая форма:

(2) Если присуще всякому не присуще ни одному С, то не присуще ни одному С,

потому что те же самые конкретные термины верифицируют и ее посылки, заключение же «Быть живым существом не присуще ни одной лошади», или «Никакие лошади не суть живые существа», — ложно. Из ложности (1) и (2) следует, что из данных посылок не может быть выведено ни одно отрицательное заключение.

Из них не может быть выведено и утвердительное заключение. Возьмем следующую силлогистическую форму:

(3) Если А присуще всякому не присуще ни одному С, то А присуще некоторому С.

Для существуют значения, то есть конкретные термины, которые верифицируют посылки, не верифицируя заключения. Аристотель снова приводит такие термины: «живое существо» вместо «человек» вместо В, «камень» вместо С. При этом посылки верифицируются, так как истинно, что «Все люди суть живые существа» и «Ни один камень не есть человек»; однако заключение «Некоторый камень есть живое существо» — очевидно, ложно. Следовательно, формула (3) не является силлогизмом. Не может быть силлогизмом и последняя форма:

(4) Если А присуще всякому не присуще ни одному С, то А присуще всякому С,

поскольку, как и в предыдущем случае, указанные термины, верифицируя ее посылки, не верифицируют заключения «Все камни суть живые существа». Из вышеизложенного следует, что из комбинации посылок «А присуще всякому В» и «В не присуще ни одному С», где А является предикатом, субъектом заключения, не может быть выведено никакое заключение. Для силлогистики эта комбинация посылок бесполезна.

Главный момент в этом процессе отбрасывания состоит в том, чтобы найти истинное общеутвердительное предложение (например, «Все лошади суть живые существа») и истинное общеотрицательное предложение (например, «Ни один камень не есть живое существо»), которые оба были бы совместимы с посылками. Недостаточно найти, например, для одних терминов истинное общеутвердительное положение, а для некоторых других терминов — истинное частноотрицательное положение. Такое мнение выдвигалось учителем Александра Термином и некоторыми поздними перипатетиками и было справедливо опровергнуто Александром. Это еще

раз доказывает, что аристотелевские идеи отбрасывания должным образом не были поняты.

Силлогистические формы (1) — (4) отбрасываются Аристотелем на основе некоторых конкретных терминов, которые верифицируют посылки, но не верифицируют заключения. Однако Аристотель знает еще и другой способ отбрасывания. Исследуя силлогистические формы второй фигуры, Аристотель обобщает: в этой фигуре не дают необходимого заключения ни две утвердительные, ни две отрицательные посылки. И затем он продолжает: «...пусть М будет не присуще ни одному и не присуще некоторому Но тогда возможно, и присуще всякому X и не присуще ни одному Терминами для случая, (когда первый термин последнему) не присущ, пусть будут: черный, снег, живое существо; терминов же для случая, (когда он) всему присущ, найти нельзя, если М некоторому X присуще, а некоторому не присуще. Ибо если бы было присуще всякому X, а М не присуще ни одному то М не было бы присуще ни одному но ведь было предположено, что М некоторому X присуще. Таким образом, действительно невозможно найти термины, но доказать это следует, исходя из неопределенного. В самом деле, так как правильно, что М не присуще некоторому X, также (и в том случае, когда не присуще ни одному X и когда не присуще ни одному силлогизма не получалось, то очевидно, что силлогизма не получится и теперь»

Аристотель здесь, как и в первом примере, начинает доказательство отбрасывания с того, что приводит конкретные термины. Однако затем он внезапно прерывает свое доказательство, так как не может найти конкретных терминов, которые могли бы верифицировать посылки не присуще ни одному и не присуще некоторому X», не верифицируя предложение не присуще некоторому X», при условии, что которое не присуще некоторому X, в то же самое время присуще некоторому (другому) Причина этого состоит в том, что из посылок не присуще ни одному и присуще некоторому по модусу Festino следует предложение не присуще некоторому X». Однако вовсе нет необходимости, чтобы М было присуще некоторому X, когда оно не

присуще некоторому (другому) может не быть присуще ни одному Конкретные термины, верифицирующие посылки не присуще ни одному и не присуще ни одному X» и не верифицирующие предложение не присуще некоторому X», легко могут быть найдены, и, действительно, Аристотель их нашел, отбрасывая силлогистическую форму второй фигуры с общеотрицательными посылками; требуемые термины следующие: М - «линия», N - «живое существо», X — «человек». Эти же термины могут быть использованы и для опровержения силлогистической формы:

(5) Если М не присуще ни одному не присуще некоторому X, то не присуще некоторому

Действительно, посылка «Ни одно живое существо не есть линия» — истинна, и вторая посылка «Некоторый человек не есть линия» — также истинна, так как истинно, что «Ни один человек не есть линия», однако заключение «Некоторый человек не есть живое существо» — ложно. Однако Аристотель не завершает свое доказательство этим путем, потому что он видит другую возможность: если отбрасывается форма с общеотрицательными посылками:

(6) Если М не присуще ни одному не присуще ни одному X, то не присуще некоторому X,

(5) также должно быть отброшено. Так как если (5) остается, то (6), которое содержит посылки более сильные, чем (5), также должно остаться.

Современная формальная логика, насколько я знаю, не употребляет «отбрасывание» как операцию, противоположную «принятию» Фреге. Правила отбрасывания все еще не известны. На основании изложенного

доказательства Аристотеля мы можем сформулировать следующее правило:

(c) Если принимается импликация «Если а, то но отбрасывается ее консеквент (3, то должен быть также отброшен и ее антецедент а.

Это правило может быть применено не только для того, чтобы отбросить (5), если отбрасывается (6), но также и для того, чтобы отбросить если отбрасывается (1). В самом деле: из посылки следует посылка О, и если (2) истинно, то должно быть истинно и (1). Но если (1) отбрасывается, то должно быть отброшено и (2).

Правило (с) для отбрасывания соответствует правилу отделения для принятия. Мы можем допустить другое правило для отбрасывания, соответствующее правилу подстановки для принятия. Оно может быть сформулировано так:

(d) Если «а является подстановкой на место отбрасывается, то (3 также должно быть отброшено.

Пример: предположим, что «А не присуще некоторому А» отбрасывается, тогда «А не присуще некоторому В» также должно быть отброшено, так как если принято второе выражение, мы можем путем подстановки получить из него отброшенное первое выражение.

Первое из этих правил было предвосхищено Аристотелем, второе было ему неизвестно. Оба этих правила дают нам возможность отбрасывать некоторые формы при условии, что некоторые другие формы уже были отброшены. Аристотель отбрасывает некоторые формы при помощи таких конкретных терминов, как «человек», «животное», «камень». Это правильная процедура, но она вводит в логику термины и предложения, в ней неуместные. «Человек» и «живое существо» — это не логические термины, а предложение «Все люди суть живые существа» — это не логическое положение. Логика не может зависеть от конкретных терминов и утверждений. Если мы хотим избежать этой трудности, мы должны аксиоматически отбросить некоторые формы. Я нашел, что если мы аксиоматически отбросим две следующие формы второй фигуры:

(7) Если А присуще всякому присуще всякому С, то В присуще некоторому С, и

8) Если А не присуще ни одному не присуще ни одному С, то В присуще некоторому С,

тогда все другие формы могут быть отброшены с помощью правил (с) и (d).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление