Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Некоторые нерешенные проблемы

Аристотелевская система немодальных силлогизмов является теорией четырех констант, которые могут быть обозначены как «Всякое — есть», «Ни одно — не есть», «Некоторое — есть» и «Некоторое — не есть». Эти константы являются функторами двух аргументов, которые представляются переменными, имеющими в качестве своих значений только конкретные общие термины. Единичные, пустые, а также отрицательные термины в качестве их значений исключаются. Постоянные вместе с их аргументами образуют четыре вида предложений, называемых посылками, а именно: «Всякое А есть В», «Ни одно А не есть В», «Некоторое А есть В» и «Некоторое А не есть В». Эта система может быть названа «формальной логикой», так как такие конкретные термины, как «человек» или «живое существо», относятся не к ней, а лишь к областям ее применения. Эта система не является теорией форм мышления и не зависит от психологии; она скорее подобна математической теории отношений «больше, чем», как это правильно было замечено стоиками.

Четыре вида посылок при помощи двух функторов «если то» и «и» образуют положения системы. Эти функторы принадлежат к пропозициональной логике, которая является вспомогателыной теорией системы. В некоторых доказательствах мы встречаем третий пропозициональный функтор, а именно пропозициональное отрицание «не истинно, что», обозначаемое кратко как «не». Четыре аристотелевские константы «Всякое — есть», «Ни одно — не есть», «Некоторое — есть» и «Некоторое — не есть» вместе с тремя пропозициональными константами «если то», «и» и «не» являются единственными элементами силлогистики.

Все положения системы являются предложениями, которые считаются истинными для всех значений встречающихся в них переменных. Ни один аристотелевский силлогизм не формулируется в качестве правила вывода со словом «следовательно», как это делается в традиционной логике.

Традиционная логика представляет собой систему, отличную от аристотелевской силлогистики, и ее нельзя смешивать с подлинной логикой Аристотеля. Аристотель делил силлогизмы на три фигуры, но он знал и допускал все силлогистические модусы четвертой фигуры. Деление силлогизмов на фигуры с чисто логической точки зрения не существенно, оно преследует лишь практическую цель: мы хотим быть уверены, что ни один правильный силлогистический модус не упущен.

Система аксиоматизирована. В качестве аксиом Аристотель берет два первых модуса первой фигуры — Barbara и Celarent. К этим двум аксиомам мы должны прибавить два закона обращения, так как они не могут быть доказаны силлогистически. Если мы хотим иметь в системе закон тождества «Всякое А есть А», мы должны принять его аксиоматически. Простейшую основу мы можем получить, взяв в качестве основных терминов константы «Всякое — есть» и «Некоторое — есть», и определив посредством этих терминов и с помощью пропозиционального отрицания две другие константы, и, наконец, приняв в качестве аксиом четыре следующих положения — два закона тождества и модусы Barbara и Datisi или Barbara и Dimaris. Построить систему только на одной аксиоме невозможно. Искать принцип аристотелевской силлогистики — пустое занятие, если «принцип» означает то же самое, что и «аксиома». Так называемое dictum de omni et nullo не может быть в этом смысле принципом силлогистики и никогда не формулировалось в качестве такового самим Аристотелем.

Аристотель сводит так называемые несовершенные силлогизмы к совершенным, то есть к аксиомам. Сведение здесь означает доказательство или выведение теорем из аксиом. Он использует три рода доказательств: посредством обращения, посредством reductio ad impossibile и посредством выделения. Логический анализ показывает, что первые два рода доказательств включают в себя положения наиболее элементарной части

пропозиционалыюй логики — теории дедукции. Аристотель пользуется ими интуитивно, однако вскоре после него стоики, которые изобрели первую систему пропозициональной логики, сформулировали некоторые из них явно — сложный закон транспозиции и так называемую «синтетическую теорему», которая приписывается Аристотелю, но которой пет в его сохранившихся логических сочинениях. Новый логический элемент, по-видимому, заключают в себе доказательства посредством выделения: они могут быть объяснены с помощью кванторов существования. Систематическое введение в силлогистику кванторов совершенно изменило бы эту систему: основной термин «Некоторое — есть» мог бы быть определен через термин «Всякое — есть», кроме того, возникло бы много новых положений, неизвестных Аристотелю. Так как сам Аристотель в своем резюме опустил доказательства посредством выделения, то нет необходимости вводить их в его систему.

Другой новый логический элемент, содержащийся в аристотелевском исследовании неправильных силлогистических форм, — это отбрасывание. Аристотель отбрасывает незаконные формы, приводя примеры конкретных терминов. Эта процедура логически законна, но она вводит в систему такие термины и предложения, которые в ней неуместны. Впрочем, имеются случаи, когда он применяет более логический прием, сводя одну незаконную форму к другой, уже отброшенной. На основе этого наблюдения правило отбрасывания может быть сформулировано соответственно правилу отделения при принятии; это могло бы послужить началом для нового объема логических исследований и для новых проблем, которые должны быть разрешены.

Аристотель систематически не исследовал так называемые полисиллогизмы, то есть силлогизмы с более чем тремя терминами и двумя посылками. Как мы уже видели, Гален изучал сложные силлогизмы, состоящие из четырех терминов и трех посылок. Было бы повторением старой ошибки приписывать Галену авторство четвертой фигуры: Гален разделил сложные силлогизмы, состоящие из четырех терминов, на четыре фигуры, но не просто на те, которые известны нам по их средневековым наименованиям. Его исследования были совершенно забыты. Однако сложные силлогизмы также принадлежат

к силлогистике и должны быть приняты во внимание; в этом состоит другая проблема, которая должна быть систематически изучена. Существенным вкладом в изучение этой проблемы является открытая Мередитом формула, которая упоминалась выше, в конце 14 параграфа.

Остается еще одна проблема, не рассмотренная Аристотелем, но весьма важная для его системы: это проблема разрешимости. Число осмысленных выражений силлогистики бесконечно; большинство из них определенно ложно, но некоторые могут быть истинными, например правильные полисиллогизмы с терминами, где есть какое угодно целое число. Можем ли мы быть уверены, что наши аксиомы вместе с нашими правилами вывода достаточны для доказательства всех истинных выражений силлогистики? Можем ли мы быть также уверены, что наши правила отбрасывания, сформулированные в конце 20 параграфа, достаточны, чтобы отбросить все ложные выражения, при условии, что конечное число их отбрасывается аксиоматически? Я поставил эти проблемы в 1938 году на своем семинаре по математической логике в Варшавском университете. Один из моих бывших учеников, ныне профессор логики и методологии Варшавского университета Слупецкий, нашел решение обеих проблем. На первый вопрос его ответ был положительный, на второй — отрицательный. Согласно Слупецкому, невозможно отбросить все ложные выражения силлогистики при помощи правил приведенных в 20 параграфе, при условии, что конечное число из них отбрасывается аксиоматически. И хотя мы можем отбрасывать аксиоматически много ложных выражений, всегда существуют такие ложные выражения, которые не могут быть отброшены иначе, чем аксиоматически. Однако установить бесконечный ряд аксиом невозможно. Поэтому к системе должно быть добавлено новое правило отбрасывания, завершающее недостаточную характеристику аристотелевской логики, данную четырьмя аксиомами. Это правило было найдено Слупецким.

Правило отбрасывания Слупецкого для собственно аристотелевской силлогистики может быть сформулировано следующим образом: пусть обозначают отрицательные посылки аристотелевской логики, то есть

посылки типа «Ни одно А не есть В» или «Некоторое А не есть В», и пусть 7 обозначает или простую посылку (любого вида), или импликацию, консеквент которой есть простая посылка, а антецедент — конъюнкция таких посылок, тогда если выражения «Если а, то 7» и «Если р, то 7» отбрасываются, должно быть также отброшено и выражение «Если то 7» 1. Это правило вместе с правилами отбрасывания (с) и (d) и аксиоматически отброшенным выражением «Если всякое С есть В и всякое А есть В, то некоторое А есть С» дает нам возможность отбросить любое ложное выражение системы. Кроме того, мы предполагаем как данные четыре принятые аксиомы силлогистики, определения посылок типа правила вывода для принятых выражений и теорию дедукции в качестве вспомогательной системы. Таким путем находит свое решение проблема разрешимости: для любого данного осмысленного выражения системы мы можем решить, истинно ли оно и может ли быть принято, или же оно ложно и должно быть отброшено.

С разрешением этой проблемы заканчиваются основные исследования в области аристотелевской силлогистики. Остается только одна проблема, или, скорее, один таинственный пункт, еще ожидающий своего объяснения: для того чтобы отбросить все ложные выражения системы, необходимо и достаточно аксиоматически отбросить только одно логическое выражение, а именно силлогистическую форму второй фигуры с общеутвердительными посылками и частноутвердительным заключением. Другого выражения, пригодного для этой цели, нет. Объяснение этого странного логического факта, возможно, приведет к новым открытиям в области логики.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление