Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 23. Теория дедукции

Наиболее фундаментальной логической системой, на которой воздвигаются все другие логические системы, является теория дедукции. Так как каждый логик обязан знать эту теорию, то я кратко здесь ее изложу.

Теорию дедукции можно аксиоматизировать несколькими различными способами в зависимости от того, какие функторы выбраны в качестве первоначальных Терминов. Простейший путь указан Фреге, который выбирает в качестве первоначальных терминов и функторов-импликацию и отрицание — в нашей символике Существует много вариантов системы аксиом с импликацией и отрицанием; простейший из них и едва ли не общепринятый был открыт мною еще до 1929 года состоит из трех аксиом:

Первая аксиома — закон гипотетического силлогизма — уже рассматривалась в предыдущем параграфе. Вторая аксиома, которая читается в словах «Если (если не - р, то р), то была применена Евклидом к доказательству математической теоремы. Я называю ее законом Клавия, так как Клавий (ученый иезуит, живший во второй половине XVI столетия, один из изобретателей григорианского календаря) первый обратил внимание на этот закон в своем комментарии к Евклиду. Третья аксиома, которая гласит «Если р, то если то впервые появилась, насколько мне известно, в комментариях к Аристотелю, приписываемых Дунсу Скоту; я называю ее законом Дунса Скота. Этот закон содержит указание на обычный яд противоречия: если два противоречащих друг другу предложения, например признаются оба одновременно истинными, то мы можем на основании этого закона вывести из них произвольное предложение то есть какое угодно предложение.

К нашей системе принадлежат два правила вывода: правило подстановки и правило отделения.

Правило подстановки позволяет из уже доказанных положений системы выводить новые положения путем замены переменной осмысленным выражением, причем вместо одной и той же переменной нужно подставлять всюду одно и то же выражение. Понятие осмысленного выражения определяется индуктивно следующим образом:

(а) любая пропозициональная переменная есть осмысленное выражение,

(b) если только а — осмысленное выражение, то и осмысленное выражение,

(c) есть осмысленное выражение при условии, что таковыми же являются

Правило отделения есть не что иное, как modus роnens стоиков, упоминавшийся выше: если принимаются предложение типа и его антецедент а, то позволительно принять консеквент и отделить его от импликации в качестве нового доказанного положения.

С помощью этих двух правил мы можем вывести из нашего ряда аксиом все истинные положения -системы. Если мы желаем иметь в системе другие функторы, кроме например К, то мы должны ввести их посредством определений. Это может быть сделано двумя различными способами, как я это покажу на примере К. Конъюнкция означает то же самое, что «Неверно что (если р, то не-q)». Эта связь между может быть выражена формулой

где знак соответствует словам «означает то же самое, что и». Этот вид определения требует специального правила вывода, разрешающего замещать определяемое на определяющее и обратно. Или же мы можем выразить связь между эквивалентностью, но так как эквивалентность не принадлежит к первоначальным терминам нашей системы, то можем выразить эту связь парой взаимно обратимых импликаций:

В этом случае не требуется специального правила определения. Я буду употреблять определения первого вида.

Рассмотрим теперь для примера, как из аксиом с помощью правил вывода могут быть получены новые положения. Я выведу из закон тождества Его выведение требует двукратного применения правила подстановки и двух применений правила отделения; это получается следующим образом:

Первая строка называется строкой вывода. Она состоит из двух частей, отделенных друг от друга знаком -Первая часть означает, что в на место должно быть подставлено выражение Положение, которое получается с помощью этой подстановки, опускается из соображений экономии места. Форма этого положения такова:

Вторая часть строки вывода СТ3—Т4, показывает, как конструируется это опущенное положение. Эта часть показывает возможность применения здесь правила отделения. Положение (1) начинается с С, затем следуют аксиома в качестве антецедента и положение в качестве консеквента. Мы можем поэтому отделить как новое положение. Так же истолковывается строка вывода, предшествующая получению Штрих является знаком подстановки, а короткое тире представляет собой знак отделения. Почти все последующие выводы могут быть осуществлены тем же самым способом.

Если кому-либо желательно вывести из аксиом закон коммутации или даже закон упрощения то для этого надо быть весьма натренированным в проведении таких доказательств. Поэтому я объясню легкий метод проверки выражений в нашей системе без выведения их из аксиом. Этот метод, изобретенный американским логиком Чарльзом С. Пирсом около 1885 года, основывается на так называемом принципе двузначности, который утверждает, что каждое предложение либо истинно, либо ложно, то есть что оно имеет одно и только одно из двух возможных значений истинности: истинность и ложность. Этот принцип нельзя смешивать с законом исключенного третьего, согласно которому из двух противоречащих друг другу предложений одно должно быть истинным. Принцип двузначности был установлен как краеугольный камень логики стоиками, в частности Хризиппом.

Все функции теории дедукции суть функции истинности, то есть их истинность и ложность зависят только от истинности и ложности их аргументов. Обозначим всегда ложное предложение через а всегда истинное

предложение — через 1. Мы можем определить отрицание следующим образом:

Это значит: отрицание ложного предложения означает то же, что и истинное предложение (или, короче, есть истина), а отрицание истинного предложения есть ложь. Для импликации мы имеем следующие четыре определения:

Это значит: импликация ложна только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен; во всех других случаях она истинна. Это древнейшее определение импликации, установленное Филоном из Мегары и принятое стоиками. Для конъюнкции мы имеем четыре очевидных равенства:

Конъюнкция истинна только тогда, когда оба ее аргумента истинны, во всех остальных случаях она ложна.

Если мы хотим проверить осмысленное выражение теории дедукции, содержащее все или некоторые из функторов мы должны подставить на место встречающихся в выражении переменных символы и 1 во всех возможных перестановках и редуцировать полученные таким образом формулы на основе вышеуказанных равенств. Если после редукции все формулы дают в качестве конечного результата то выражение истинно или является положением; если же в каком-либо случае в качестве конечного результата оказывается 0, то выражение ложно. Рассмотрим в качестве примера первого рода закон транспозиции мы получаем:

Так как при всех подстановках конечный результат редукции равен то закон транспозиции является положением нашей системы. Рассмотрим теперь в качестве примера второго рода выражение Достаточно испробовать только одну подстановку:

Эта подстановка дает в качестве конечного результата, и, следовательно, выражение ложно-. Таким же способом - мы можем проверить все положения теории дедукции, используемые в качестве вспомогательных посылок в аристотелевской силлогистике.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление