Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 24. Кванторы

У Аристотеля нет ясной идеи кванторов, и он не использовал их в своих работах; следовательно, мы не можем вводить их в его силлогистику. Однако, как мы уже видели, в его системе имеется два пункта, которые мы можем лучше понять, если объясним их, применяя кванторы. Кванторы общности связаны с так называемой «силлогистической необходимостью», кванторы существования, или кванторы «частности», — с доказательствами посредством выделения. Я теперь выражу в символах доказательства с кванторами существования, изложенные в параграфе 19, а затем рассуждение, зависящее от кванторов общности и упоминавшееся в параграфе 5.

Я обозначаю кванторы греческими заглавными буквами: квантор общности — через а квантор существования, или «частности», — через 2. Знак может читаться «для всякого», «для некоторого» или «существует»; например, означает в словах «Существует такое с, для которого верно, что всякое с есть и всякое с есть а», или, более кратко: «Для некоторого с, всякое с есть и всякое с есть а». Каждое выражение с кванторами, например состоит из трех частей: первой части, в нашем примере 2, являющейся всегда квантором; второй части, в данном случае с — переменной, связанной предшествующим квантором; третьей части, в данном случае всегда являющийся пропорциональным выражением, содержащим как связанные квантором, так и свободные переменные.

Ставя перед мы тем самым указываем, что свободная переменная с в последней формуле становится связанной. Можем выразить это короче: 2 (часть первая) связывает с (часть вторая) в

Правила для кванторов существования уже были установлены в параграфе 19. На строках вывода я обозначаю через правило, разрешающее нам ставить 2 перед антецедентом, а через 22 — правило, разрешающее ставить 2 перед консеквентом истинной импликации. Нижеследующие выводы будут легко поняты, поскольку они представляют собой перевод в символы словесных выводов из параграфа 19; соответствующие друг другу положения обозначаются одними и теми же номерами и имеют в качестве переменных соответствующие строчные буквы вместо прописных [употреблявшихся в параграфе 19. — Прим. перев.]

Доказательство обращения посылки I

Положения, принимаемые за истинные без доказательства:

Положения (1) и (2) могут быть использованы как определение посылки I:

(см. скан)

Строки вывода показывают, что (4) и (8) являются результатом, полученным из других положений лишь с помощью подстановки, а (7) и (9) — с помощью подстановки и двукратного применения правила отделения. По этому образцу читатель может попытаться самостоятельно построить доказательство модуса Darapti, что не представляет трудности.

Доказательство модуса Bocardo

(Переменные и 5, употреблявшиеся в параграфе 19, должны быть переименованы, так как соответствующие строчные буквы и 5 заняты для обозначения пропозициональных переменных: поэтому напишем вместо а — вместо вместо

Положение, принимаемое без доказательства:

Два силлогизма берутся в качестве посылок:

Это — «синтетическая теорема», приписываемая Аристотелю.

Это — импликативная форма модуса Bocardo. Если мы желаем иметь обычную конъюнктивную форму этого модуса, мы должны применить к (21) так называемый за-кон импортации:

Мы получаем:

С помощью так называемого закона экспортаций:

который является обратным по отношению к закону импортации, мы можем вновь получить импликативную форму модуса Bocardo из его конъюктивной формы.

Правила для кванторов общности, подобные правилам для кванторов существования, изложены в параграфе 19. Квантор общности может быть поставлен перед антецедентом истинной импликации при всех условиях, связывая встречающуюся в антецеденте свободную переменную, однако перед консеквентом истинной импликации квантор общности ставится только при том условии, если переменная, связанная в консеквенте, не встречается в качестве свободной переменной в антецеденте. Первое из этих правил я обозначаю через второе — через

Отметим два правила, вытекающие из приведенных выше основных правил для квантора общности: во-первых, разрешается (с помощью правила и закона упрощения) ставить квантор общности перед истинным выражением, связывая встречающиеся в нем свободные переменные; во-вторых, разрешается (с помощью правила и закона тождества для предложений) опускать квантор общности, стоящий перед истинным выражением. Способ выведения этих правил я поясню на примере закона обращения посылки

Из закона обращения

следует выражение с кванторами

а из выражения с кванторами (26) снова следует бескванторное выражение закона обращения (9).

Во-первых, из (9) следует (26)

К этому положению мы применим правило связывающее и затем а, так как ни а, ни не встречаются в антецеденте:

Во-вторых, из (26) следует (9):

К этому положению мы применим правило связывающее и затем а:

Аристотель утверждает: «Если некоторое а есть 6, то необходимо, чтобы некоторое было а». Выражение «необходимо, чтобы», по моему мнению, может здесь иметь только один смысл — невозможно найти такие значения переменных которые, удовлетворяя антецеденту, в то же время не удовлетворяли бы консеквенту. Другими словами, это значит: «Для всякого а и для всякого 6, если некоторое а есть 6, то некоторое есть а». Это и есть наше положение с кванторами (26). Было доказано, что это положение эквивалентно бескванторной форме закона обращения «Если некоторое а есть 6, то некоторое есть а», которая не содержит признака необходимости. Так как силлогистическая необходимость эквивалентна квантору общности и может быть опущена, то и квантор общности может быть опущен, когда он стоит перед истинной формулой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление