Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 25. Основания силлогистики

Каждая аксиоматически построенная дедуктивная система опирается на три основных элемента: первоначальные термины, аксиомы и правила вывода. Я начну с оснований для принимаемых выражений; основные элементы для отбрасываемых выражений будут рассмотрены позже.

В качестве первоначальных терминов я принимаю константы определяя через них две другие константы и О:

Определение 1:

Определение 2:

Для того чтобы сократить доказательства, я буду употреблять вместо этих определений следующие два правила вывода:

правило может быть всюду заменено на и наоборот;

правило может быть всюду заменено на О, и наоборот.

Четыре положения системы принимаются аксиоматически — это два закона тождества и модусы Barbara и

Кроме правил и я допускаю два следующих правила вывода для принимаемых выражений:

(а) Правило подстановки: Если а — принятое выражение системы, то любое выражение, полученное из а с помощью правильной подстановки, также является принятым выражением. Единственно правильная «подстановка состоит в замене переменных терминов с другими переменными терминами, например замена на а;

(б) Правило отделения: Если — выражения, принятые нашей системе, то также принятое выражение.

Как вспомогательную теорию я предполагаю систему теории дедукции с К в качестве определяемого

функтора. На место пропозициональных переменных могут быть подставлены пропозициональные выражения силлогистики, такие, как Во всех последующих доказательствах (также и для отбрасываемых выражений) я буду использовать лишь следующие четырнадцать положений, которые обозначены римскими цифрами:

I. (закон упрощения)

II. (вторая форма закона гипотетического силлогизма)

III. (закон коммутации)

IV. (закон Дунса Скота)

V. (закон Клавия)

VI. (закон транспозиции)

VII. (закон экспортации)

Положение VIII — форма закона экспортации, положения IX—XI — сложные законы гипотетического силлогизма, а XII-XIV - сложные законы транспозиции. Все они могут быть легко проверены с помощью метода, объясненного в параграфе 23. Положения IV и V совместно с положениями II и III образуют всю -систему, однако положения IV и V требуются только в доказательствах для отбрасываемых выражений.

Система аксиом 1—4 совместима (consistent), то есть непротиворечива. Простейшее доказательство непротиворечивости получается в результате рассмотрения переменных терминов как пропозициональных переменных и определения функций как всегда истинных, то есть полагания Аксиомы 1—4 тогда истинны как положения теории дедукции, а так как известно, что теория дедукции непротиворечива, то силлогистика также является непротиворечивой.

Все аксиомы нашей системы независимы друг от друга. Это можно доказать с помощью интерпретации

в области теории дедукции. В последующих интерпретациях переменные термины трактуются как пропозициональные переменные.

Независимость аксиомы 1. Возьмем К вместо вместо Аксиома 1 не выполняется, так как дает при Другие аксиомы выполняются, что легко проверить с помощью метода.

Независимость аксиомы 2. Возьмем С вместо вместо Аксиома 2 не выполняется, так как Другие аксиомы выполняются.

Независимость аксиомы 4. Возьмем С вместо Аксиома 4 не выполняется, так как дает при Остальные аксиомы выполняются.

Независимость аксиомы 3. Невозможно доказать независимость этой аксиомы на основе теории дедукции лишь с двумя значениями истинности: и Мы должны ввести третье значение истинности (обозначим его символом 2), которое может рассматриваться как другой символ для истины, то есть для . К эквивалентностям, данным для в параграфе 23, мы должны прибавить следующие формулы:

Можно легко показать, что при этих условиях все положения -системы выполняются. Определим теперь как всегда истинную функцию, то есть при всех значениях как функцию со значениями:

Аксиомы 1, 2 и 4 верфицируются, но из 3-й аксиомы при подстановке мы получаем:

Возможно также провести доказательство независимости, пользуясь интерпретацией в области натуральных чисел. Если мы хотим, например, доказать независимость аксиомы 3 от остальных аксиом, то мы можем определить как как а всегда истинно, и, следовательно, аксиомы

2 и 4 выполняются. Аксиома 1 также выполняется, так как а всегда отлично от а. Но аксиома 3, то есть то а , не выполняется. Возьмем 3 вместо а, 2 вместо и 4 вместо с: посылки будут истинны, а заключение — ложно.

В результате вышеприведенных доказательств независимости оказывается, что не существует никакой единственной аксиомы или «принципа» силлогизма. Правда, четыре аксиомы 1—4 могут быть механически объединены в одно предложение с помощью союза однако они остаются обособленными в этой неорганической конъюнкции и не будут представлять из себя одной единой идеи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление