Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 27. Аксиомы и правила для отбрасываемых выражений

Из двух интеллектуальных актов — принятия предложения и его отбрасывания — в современной

формальной логике принимают во внимание лишь первый. Готтлоб Фреге ввел в логику идею принятия и знак принятия которые были в последствии заимствованы авторами «Principia Mathematical Однако идеей отбрасывания, насколько мне известно, пренебрегают и поныне.

Мы принимаем истинные предложения и отвергаем ложные. Только истинные предложения могут быть приняты, поскольку было бы ошибкой принимать предложение, которое не истинно. Аналогичное свойство не может быть приписано операции отбрасывания: могут подлежать отбрасыванию не только ложные предложения. Верно, конечно, что каждое предложение либо истинно, либо ложно, однако существуют пропозициональные выражения, которые не истинны и не ложны. Пропозициональные выражения такого рода — это так называемые пропозициональные функции, то есть «выражения, содержащие свободные переменные и становящиеся истинными для одних значений и ложными для других. Возьмем, например, пропозициональную переменную она не истинна и не ложна, потому что при становится истинной, а при ложной. Далее, из двух противоречащих предложений а одно должно быть истинным, а другое — ложным; следовательно, одно должно быть принято, а другое — отброшено. Но ни одна из двух противоречащих друг другу пропозициональных функций не может быть принята, поскольку ни одна из них не истинна; они обе должны быть отброшены.

Формы силлогизмов, отвергаемые Аристотелем, — не предложения, а пропозициональные функции. Например, Аристотель говорит, что никакого силлогизма по первой фигуре не получится, если первый термин принадлежит всему среднему, но совсем не принадлежит третьему. Поэтому форма силлогизма

Аристотелем не принимается в качестве правильного силлогизма, а отбрасывается. Аристотель сам дает конкретный пример опровержения вышеприведенной формы: подставим вместо «человек», вместо с — «живое существо», вместо а — «камень». Однако существуют другие значения, для которых формула

может быть верифицирована: отождествив переменные а и с, мы получим истинную импликацию поскольку ее антецедент ложен, а консеквент истинен. Отрицание формулы (I):

должно, следовательно, также быть отброшено, поскольку при оно ложно.

Вводя в систему кванторы, мы могли бы обойтись без отбрасывания. Вместо того чтобы отбросить форму мы могли бы принять положение

Это значит: существуют термины которые верифицируют отрицание Следовательно, форма неверна для всех и с и не может быть правильным силлогизмом. Таким же образом, вместо того чтобы отбрасывать выражение мы могли бы принять положение

Но Аристотель ничего не знал о кванторах; вместо того чтобы присоединить к своей системе новые положения с кванторами, он употребляет отбрасывание. Так как операция отбрасывания представляется более простой процедурой, чем употребление кванторов, то мы последуем по стопам Аристотеля.

Аристотель отбрасывает большинство неправильных силлогистических форм, поясняя их примерами с конкретными терминами. Это единственный пункт, в котором мы не можем следовать за ним, так как мы не можем вводить в логику такие конкретные термины, как «человек» или «живое существо». Некоторые формы должны быть отброшены аксиоматически. Мною обнаружено, что если мы без доказательства отбросим следующие две формы второй фигуры

то все другие неправильные формы силлогизмов могут быть отвергнуты с помощью двух правил отбрасывания:

(c) Правило отбрасывания через отделение: если импликация «Если а, то принята, но консеквент отбрасывается, то антецедент а также должен быть отброшен.

(d) Правило отбрасывания через подстановку: если подставляется на место отбрасывается, то а также должно быть отброшено.

Оба правила совершенно очевидны.

Число форм силлогизмов равно ; 24 формы — правильные силлогизмы, 2 формы отбрасываются аксиоматически. Было бы утомительно доказывать, что оставшиеся 230 неправильных форм могут быть отброшены с помощью наших аксиом и правил. Я лишь покажу, на примере форм первой фигуры с посылками как наши правила отбрасывания работают на основе первой аксиомы отбрасывания.

Отбрасываемые выражения я обозначаю, ставя звездочки перед их порядковыми номерами. Так, мы имеем:

Здесь в первый раз применено правило отбрасывания через отделение. Принятая импликация 60 имеет отвергнутый консеквент, 59; следовательно, ее антецедент 61 также должен быть отброшен. Таким же образом я получаю отбрасываемые выражения 64, 67, 71, 74 и 77.

Здесь применено правило отбрасывания через подстановку. Выражение 68 должно быть отброшено, поскольку, подставляя вместо с в 68, мы получаем отбрасываемое выражение 67. То же самое правило используется при получении 75.

Отвергнутые выражения 68, 71, 75 и 77 — это четыре возможные формы первой фигуры, имеющие посылки Из этих посылок по первой фигуре не может быть выведено ни одного правильного заключения. Таким же образом на основе двух аксиоматически отвергнутых форм мы можем доказать, что и все другие неправильные силлогические формы во всех четырех фигурах также должны быть отброшены.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление