Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 28. Недостаточность наших аксиом и правил

Несмотря на то, что все известные положения аристотелевской логики можно доказать с помощью наших аксиом и правил принятия, а все неправильные формы

силлогизмов можно опровергнуть с помощью наших аксиом и правил отбрасывания, результаты далеки от того, чтобы считаться удовлетворительными. Причина этого состоит в том, что наряду с формами силлогизмов существует много других имеющих смысл выражений аристотелевской логики, в действительности существует даже бесчисленное множество таких выражений, так что мы не можем быть уверенными в том, могут ли быть выведены или нет из нашей системы аксиом и правил все истинные выражения силлогистики и могут ли или нет быть отвергнуты все ложные выражения. Действительно, нетрудно найти ложные выражения, которые не могут быть отвергнуты с помощью наших аксиом и правил отбрасывания. Таким, например, является выражение

Оно означает «Если некоторое а есть то если не верно, что всякое а есть то всякое есть а». Это выражение не является истинным в аристотелевской логике, и не может быть доказано с помощью аксиом принятия, однако, будучи совместимо с ними и прибавлено к этим аксиомам, оно не порождает какой-либо неправильной формы силлогизма. Оно заслуживает внимания при рассмотрении расширенной системы силлогистики.

Из законов аристотелевской логики

и закона теории дедукции

мы можем вывести следующее новое положение 78:

Это положение является обратной импликацией по отношению к и вместе с дает эквивалентность. На основе этой эквивалентности мы можем определить функтор через А:

Это определение гласит: «Некоторое а есть означает то же самое, что «Если неверно, что всякое а есть 6, то всякое есть а». Так как выражение то эквивалентно альтернативе или то мы можем также сказать: «Некоторое а есть означает то же самое, что «Или всякое а есть или всякое есть а». Не представляет труда найти интерпретацию этой расширенной системы на так называемых кругах Эйлера. Термины и с представляются в виде кругов, как и при обычной интерпретации, но при условии, что никаких два круга не пересекаются друг с другом. Аксиомы 1—4 выполняются, а формы отбрасываются, потому что можно нарисовать два круга, лежащих один вне другого и заключенных в третьем круге, что опровергает форму и возможно нарисовать три круга, каждый из которых исключает два других, что опровергает форму Следовательно, все законы аристотелевской логики выполняются и все неправильные формы силлогистики отбрасываются. Тем не менее эта система отличается от аристотелевской силлогистики, потому что формула ложна, что можно увидеть из следующего примера: верно, что «Некоторые четные числа деляется на 3», однако неверно ни то, что «Все четные числа делятся на 3», ни что «Все числа, делимые на 3, — четные».

В результате этого рассмотрения оказывается, что наша система аксиом и правил не является категорической, иными словами, не все интерпретации нашей системы верифицируют и фальсифицируют одни и те же формулы, не все интерпретации изморфны. Только что изложенная интерпретация верифицирует формулу которая не выполняется в аристотелевской логике. Поэтому система наших аксиом и правил недостаточна, для того чтобы дать полное и точное описание аристотелевской силлогистики.

Для того чтобы устранить эту трудность, мы могли бы отбросить выражение аксиоматически. Однако сомнительно, будет ли такое устранение эффективным, ведь могут существовать другие формулы того же рода, что и возможно даже бесчисленное множество таких формул. Проблема состоит в том, чтобы найти для

аристотелевской силлогистики такую систему аксиом и правил, на основании которой мы могли бы решить, должно ли любое заданное и имеющее смысл выражение этой системы быть принято или отброшено. Этой важнейшей проблеме разрешимости и посвящается следующая глава.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление