Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА V. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ

§ 29. Число неразрешимых выражений

В качестве исходного основания моего настоящего исследования я беру следующие основные элементы силлогистики:

(1) Четыре принятые аксиомы 1—4.

(2) Правило (а) подстановки и правило отделения для принимаемых выражений.

(3) Две аксиомы отбрасывания 59 и 59а.

(4) Правило (с) отделения и правило (d) подстановки для отбрасываемых выражений.

К этой системе аксиом и правил в качестве вспомогательной теории должна быть добавлена теория дедукции. Из аксиом и -правил принятия могут быть выведены все известные положения аристотелевской логики, то есть законы квадрата противоположностей, законы обращения и все правильные модусы силлогизма; на основе же аксиом и правил отбрасывания могут быть отвергнуты все неправильные силлогистические формы. Однако, как мы уже видели, эта система аксиом и правил недостаточна для адекватного описания аристотелевской силлогистики, поскольку существуют осмысленные выражения, например которые не могут быть ни доказаны при помощи наших аксиом и правил принятия, ни опровергнуты при помощи наших аксиом и правил отбрасывания. Я называю такие выражения неразрешимыми относительно наших исходных оснований. Неразрешимые выражения в аристотелевской логике могут быть или истинными, или ложными. Выражение конечно, ложно.

В связи с этим мы должны поставить два вопроса, для того чтобы решить проблему разрешимости.

Первый вопрос таков: конечно или нет число неразрешимых выражений? Если оно конечно, проблема разрешимости решается легко: мы можем допустить истинные выражения в качестве новых принятых аксиом, а ложные выражения отбросить аксиоматически. Этот метод, однако, практически неосуществим, если число неразрешимых выражений не конечно. Мы не можем принять или отбросить бесконечное множество аксиом. В этом случае возникает второй вопрос: возможно ли так дополнить нашу систему аксиом и правил, чтобы мы могли решить, должно ли заданное выражение приниматься или отбрасываться? Оба этих вопроса были решены Слупецким: первый — отрицательно, показом того, что число неразрешимых предложений относительно наших исходных оснований не является конечным, второй — утвердительно, посредством добавления нового правила отбрасывания.

Начнем с первого вопроса. Каждый, кто изучал традиционную логику, знаком с интерпретацией силлогизмов посредством кругов Эйлера: в соответствии с этой интерпретацией переменные термины и с представляются кругами, посылка будет истинной тогда и только тогда, когда круг а или совпадает, или содержится в круге а посылка будет истинной тогда и только тогда, когда круги имеют общую область. Следовательно, посылка будучи отрицанием истинна тогда и только тогда, когда круги не имеют общей области, то есть когда они исключают друг друга. Если поэтому совпадают, истинно, ложно.

Я буду теперь исследовать различные предположения относительно числа кругов, принимаемых в качестве «универсума» нашего рассмотрения, то есть в качестве области нашей интерпретации. Очевидно, правила наших оснований остаются законными при всех интерпретациях. Если универсум нашего рассмотрения

состоит из трех или более кругов, то четыре аксиомы принятия, конечно, выполняются, а аксиоматически отбрасываемое выражение

отбрасывается, так как возможно нарисовать два круга с и а, исключающие друг друга, но включенные в третий круг В этом случае посылки будут истинными, а заключение ложным. Выражение

также отбрасывается, так как мы можем нарисовать три круга, из которых каждый исключает два других, так что посылки будут истинными, а заключение ложным. Эта интерпретация, следовательно, удовлетворяет условиям наших оснований так же, как и все наши другие интерпретации.

Предположим теперь, что наш универсум состоит только из трех кругов и не более, и рассмотрим следующее выражение:

Это выражение содержит четыре различные переменные, причем каждая из них может принимать только три разных значения, так как мы можем нарисовать лишь три различных круга. Каким бы способом мы ни подставляли эти три значения на место переменных, две переменные должны всегда получать одно и то же значение, то есть должны отождествляться. Но если какая-нибудь одна из пар переменных или а и с, или , или б и с, или состоит из одинаковых элементов, то соответствующая посылка становится ложной, а вся импликация, то есть выражение верифицируется; если же последняя пара переменных имеет одинаковые элементы, то заключение становится истинным, а вся импликация снова верифицируется. При условии, что можно нарисовать только три круга, выражение истинно и не может быть опровергнуто с помощью наших аксиом и правил отбрасывания. Если мы, однако, предположим, что наш универсум состоит более чем из трех кругов, то мы можем нарисовать четыре круга, каждый из которых

исключает три других, и становится ложным. поэтому не может быть доказано с помощью наших аксиом и правил принятия. Так как не может быть ни доказано, ни опровергнуто посредством системы наших аксиом и правил, то оно является неразрешимым выражением.

Рассмотрим теперь выражение формы

содержащее различных переменных:

и предположим, что: (1) каждый антецедент есть типа причем отлично от консеквент (3 относится к типу причем отлично от встречаются все возможные пары различных переменных. Если наш универсум состоит лишь из кругов, то верифицируется, так как некоторые две переменные должны отождествляться, и тогда или один из антецендентов становится ложным, или консеквент становится истинным. Но если наш универсум состоит более чем из кругов, то не верифицируется, ибо кругов могут быть изображены так, что каждый круг исключает остальные, иными словами, все антецеденты становятся истинными, а консеквент — ложным. Поэтому это неразрешимое выражение.

Таких неразрешимых выражений бесконечное число, поскольку может быть каким угодно целым числом. Очевидно, что все они ложны в аристотелевской логике и должны быть отброшены, ибо мы не можем ограничить аристотелевскую логику конечным числом терминов, а выражения формы опровергаются, когда число терминов бесконечно. Это бесконечное число неразрешимых выражений не может быть отброшено иначе, как аксиоматически. Это вытекает из следующего соображения: не может быть опровергнуто посредством системы наших аксиом и правил, а поэтому должно быть отброшено аксиоматически. Следующее неразрешимое выражение формы содержащее пять различных терминов, не может быть опровергнуто с помощью нашей системы аксиом и правил вместе с уже отброшенным выражением и должно

опять-таки быть отброшено аксиоматически. Тот же самый аргумент можно повторить относительно всякого другого неразрешимого выражения формы Поскольку невозможно аксиоматически отбросить бесконечное множество выражений, мы должны найти другой аппарат, если мы хотим положительно решить проблему разрешимости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление