Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 31. Дедуктивная эквивалентность

Для доказательства разрешимости мы нуждаемся в понятии дедуктивной, или выводной, эквивалентности. Так как, по моему мнению, трактовка этого понятия не свободна от некоторых недоразумений, его значение должно быть точно определено. Я сделаю это на основе теории дедукции.

Обычно говорят, что два выражения дедуктивно эквивалентны по отношению друг к другу, когда возможно вывести (3 из а, если принято а, и обратно, а — из если принято Правила вывода всегда предполагаются данными. Но они редко бывают достаточными. Они достаточны, например, в следующем примере. Из принятого закона коммутации мы можем вывести положение

и снова из этого положения мы можем вывести закон коммутации

Но мы не можем таким простым способом вывести из цринятого выражения закон Дунса Скота потому что из первого выражения мы можем выводить новые предложения лишь с помощью подстановки, а все подстановки в начинаются с а не с Для того чтобы вывести одно из этих выражений из другого, нам потребуются вспомогательные средства. Вообще говоря, отношение дедуктивной

эквивалентности редко бывает абсолютным, в большинстве случаев оно соотносительно определенному основанию положений. В нашем случае этим основанием является закон коммутации. Начиная с

мы получаем посредством коммутации закон Дунса Скота:

а, начиная с (6), мы вновь получаем посредством коммутации (5)

Я говорю поэтому, что дедуктивно эквивалентны относительно закона коммутации, и пишу

Знак обозначает отношение дедуктивной эквивалентности. Это отношение отличается от обычного отношения эквивалентности, обозначаемого здесь через которое определяется посредством конъюнкции двух взаимно обратных импликаций

и не нуждается в каком-либо основании. Если принимается обычная эквивалентность или подстановка на место а, то мы можем принять или соответствующую подстановку на «место , и наоборот. Принятая обычная эквивалентность является, следовательно, достаточным основанием для дедуктивной эквивалентности но она не является для нее необходимым основанием. Этот пункт как раз нуждается в объяснении.

Не только принятые или истинные выражения могут быть дедуктивно эквивалентными, таковыми могут быть и ложные выражения. Для того чтобы решить проблему разрешимости для -системы, мы должны уметь преобразовать произвольное осмысленное выражение в выражении где пропозициональная

беременная, не встречающаяся в а. Это может быть сделано с помощью двух положений:

Я говорю, что а дедуктивно эквивалентно относительно и пишу:

Все проходит легко, когда принято. Возьмем в качестве примера Это положение легко верифицируется с помощью -метода. В соответствии с формулой I я пишу соотношение

Начиная с

мы получаем с помощью

а начиная снова с (8), мы получаем с помощью подстановки и

Но произвольное выражение; оно может быть ложным, например В этом случае формула I читается:

Здесь начинаются затруднения: мы можем получить положение из при помощи подстановки но мы не можем вывести из этого положения консеквент так как не является положением и не может быть принято. Следовательно, не может быть отделено. Еще большая трудность возникает в другом направлении: мы можем получить из посредством подстановки положение но не принимается; не можем мы получить и из подстановкой, потому что не является доказуемым

положением. Мы не можем сказать: предположим, что будет принято; тогда будет следовать Принятие ложного выражения — ошибка, и мы не можем рассчитывать что-либо доказать с помощью ошибки. Думается, следовательно, что формула I правильна не для всех выражений, а только для тех, которые приняты.

На мой взгляд, существует лишь один способ устранить эти трудности: ввести операцию отбрасывания в теорию дедукции. Мы аксиоматически отбрасываем переменную и допускаем очевидные правила отбрасывания На этой основе можно легко показать, что должно быть отброшено. Ибо мы получаем из аксиомы

и положения

посредством правил отбрасывания

Теперь мы в состоянии доказать, что если отбрасывается, то также должно быть отброшено; и обратно, если отбрасывается, то также должно быть отброшено. Начиная с

мы получаем с помощью и правил отбрасывания

В другом направлении мы легко получаем из (16) с помощью

Формула I теперь полиостью подтверждена, однако мы должны исправить наше предыдущее определение дедуктивной эквивалентности, сказав:

Два выражения являются дедуктивно эквивалентными относительно определенных положений, если и только если мы можем доказать с помощью этих положений и правил вывода, что если одно из этих выражений принимается, то и другое также должно приниматься, а если одно из них отбрасывается, то и другое также должно быть отброшено.

Из этого определения следует, что обычная эквивалентность не составляет необходимой основы дедуктивной эквивалентности. Если имеется положение то верно, что а дедуктивно эквивалентно относительно но если а дедуктивно эквивалентно относительно определенных положений, то не всегда верно, что имеет место положение Возьмем в качестве примера дедуктивной эквивалентности только что рассмотренную:

Соответствующая обычная эквивалентность здесь не имеет места, так как она ложна при

Очевидно, что отношение дедуктивной эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Имеются случаи, когда а дедуктивно эквивалентно двум выражениям и 7 относительно определенных положений. Это значит: если принимается то принимается и принимается 7, а следовательно, принимается их конъюнкция и обратно, если принимаются и или их конъюнкция и 7», то принимается также а. С другой стороны, если а отбрасывается, то конъюнкция и 7» также должна быть отброшена, а в этом случае достаточно, чтобы было отброшено лишь одно из них, или 7; и обратно, если хотя бы одно из них отброшено, также должно быть отброшено и а.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление