Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 32. Сведение к элементарным выражениям

Наше доказательство разрешимости основывается на следующей теореме:

(ТА) Каждое осмысленное выражение аристотелевской силлогистики может быть дедуктивно эквивалентным способом, относительно положений теории дедукции, сведено к ряду элементарных выражений, то есть выражений формы:

где все а — это простые выражения силлогистики, то есть выражения типа или

Все известные положения силлогистики являются либо элементарными выражениями, либо выражениями, которые легко могут быть преобразованы в элементарные. Законы обращения, то есть или это элементарные выражения. Все силлогизмы имеют форму а выражения этого вида дедуктивно эквивалентны элементарным выражениям формы относительно законов экспортации и импортации. Однако имеются другие осмысленные выражения силлогистики — некоторые из них истинные, некоторые ложные, — которые не являются элементарными. Мы уже встречали такое выражение: это было положение антецедент которого — не простое выражение, а импликация. Существует, разумеется, бесконечное множество таких выражений, и все они должны быть приняты во внимание при доказательстве разрешимости.

Теорема (ТА) легко может быть Доказана на основе аналогичной теоремы из теории дедукции:

(ТВ) Каждое осмысленное выражение теории дедукции с в качестве основных терминов может быть сведено дедуктивно эквивалентным способом относительно конечного числа положений к ряду элементарных выражений формы:

где все а — простые выражения, то есть либо переменные, либо их отрицания.

Доказательство этой теоремы не из легких, но поскольку оно существенно для проблемы разрешимости, его нельзя опустить. Приведенное ниже доказательство (ТВ) предназначено для читателей, интересующихся формальной логикой; те же, кто еще не натренирован в математической логике, могут принять обе теоремы, (ТА) и (ТВ), на веру.

Пусть а будет произвольным осмысленным выражением теории дедукции, отличным от переменной (которое может, хотя и не обязательно, быть преобразовано): каждое такое выражение, как мы уже знаем, может быть преобразовано дедуктивно эквивалентным способом относительно положений

в выражение где переменная, не встречающаяся в а. Мы имеем, следовательно, в качестве преобразования I:

Преобразование I позволяет нам свести все осмысленные выражения к импликациям, имеющим в качестве последнего термина переменную. Теперь мы должны попытаться преобразовать а — антецедент в переменную или ее отрицание. Для этой цели мы используем следующие три преобразования:

Соответствующие положения таковы: для преобразования II

для преобразования III

для преобразования IV

Поясним теперь, как мы можем получить с помощью этих преобразований переменную или ее отрицание в антецеденте Выражение а, встречающееся в как и всякое осмысленное выражение -системы, может быть либо переменной, либо отрицанием, либо импликацией. Если а переменная, то не требуется никаких преобразований; если это отрицание, то мы получаем а два отрицания взаимно уничтожают друг друга согласно преобразованию если же а — импликация, то мы получаем из эквивалентное выражение антецедент которого, а, проще, чем первоначальный антецедент Это новое а может быть опять-таки переменной, и тогда не требуется никаких преобразований, или отрицанием — этот случай уже был рассмотрен, — или импликацией. В этом последнем случае мы получаем из два выражения и с более простыми антецедентами, чем первоначальный антецедент Повторными применениями II, III и IV мы должны, наконец, получить в антецеденте переменную или ее отрицание. Посмотрим теперь на примерах, как действуют эти преобразования.

Первый пример:

Итак, сводится к выражению с переменной в антецеденте. представляет собой элементарное выражение.

Второй пример:

Итак, сводится к двум выражениям: оба с переменной в антецеденте, оба — элементарные выражения.

Третий пример:

сводится к двум выражениям: оба с переменной в первом антецеденте. Ни одно из них, однако, не является элементарным, так как первое имеет в качестве своего третьего антецедента сложное выражение а во втором то же самое сложное выражение выступает в качестве второго антецедента.

Как видно из этого последнего примера, наша задача еще не выполнена. С помощью преобразований мы, правда, получаем импликации с переменной в первом антецеденте, а также выражения формы:

однако не все антецеденты этой формы, исключая обязательно бывают простыми выражениями. Для того чтобы избавиться от таких сложных антецедентов, нам необходимо три последующих преобразования:

Соответствующие положения таковы: для преобразования V: 1

для преобразования VI:

для преобразования VII:

С помощью мы можем передвинуть сложный антецедент со второго места первое, а с помощью с третьего на второе. Применяя эти преобразования

к выражениям нашего третьего примера, мы получаем:

Итак, сводится к четырем элементарным выражениям:

Преобразование VII использовалось во всех тех случаях, когда сложный антецедент встречался на четвертом месте или далее. Это преобразование позволяет нам уменьшить число антецедентов; в действительности означает то же самое, что являются соответственно другими формами законов импортации и экспортации. Теперь подобно имеет только один антецедент, в то время как эквивалентное выражение имеет два антецедента. Если поэтому сложное выражение появляется «а четвертом месте, как 8 в то мы можем передвинуть его на третье место, применяя сначала VII, а затем VI:

Из этого последнего выражения с помощью обратного применения VII мы получаем формулу

Теперь легко перенести 8 на первое место с помощью VI и V:

Применяя преобразование VII повторно в обоих направлениях, мы можем передвинуть любой антецедент с места на первое и преобразовать его, если он является сложным, с помощью II, III и IV в простое выражение,

Итак, доказательство теоремы завершено. Теперь легко показать, что эта теорема влечет за собой доказательство разрешимости для С—N-системы теории дедукции. Если все элементарные выражения, к которым было сведено данное выражение истинны, то есть если они имеют среди своих антецедентов два выражения типа то в таком случае а является положением, которое должно быть принято. С другой стороны, если среди элементарных выражений, к которым было сведено существует по крайней мере одно такое выражение, что никаких два его антецедента не есть типа то тогда должно быть отброшено. В первом случае мы можем доказать с помощью положений во втором — мы можем опровергнуть его, добавив к вышеуказанным положениям два новых

и аксиому отбрасывания

Два примера пояснят это.

Первый пример: доказательство положения

Это положение должно быть сначала сведено к элементарным выражениям. Это делается посредством следующего анализа

Элементарные выражения, к которым сводится таковы: Оба они, подобно всем выражениям, к которым было применено преобразование I, имеют в качестве своего последнего термина переменную, не встречающуюся в антецедентах. Такие выражения могут быть истинными только при условии, что они имеют два антецедента типа а любое выражение этого вида можно свести с помощью преобразований V, VI или VII к подстановке в с

которой всегда должно начинаться доказательство положения. Вот требуемые выводы:

Получив в (3) и (4) те же элементарные выражения, до которых мы дошли в конце нашего анализа мы теперь переходим от них к их левым эквивалентам, применяя положения, на которых основывались последовательные преобразования. Так, шаг за шагом с помощью мы получим наше первоначальное положение

По этому образцу мы можем доказывать любое положение, какое пожелаем.

Второй пример: опровержение выражения

Сначала мы сводим это выражение к элементарным выражениям на основе следующего анализа:

Итак, выражение сведено к двум элементарным выражениям Первое из них — положение, однако второе не является истинным,

поскольку не обладает двумя антецедентами типа Поэтому выражение которое ведет к такому неправильному следствию, должно быть отброшено. Мы начинаем опровержение сверху, последовательно применяя, согласно данным преобразованиям, положения

Теперь мы должны опровергнуть выражение для этой цели нам потребуются новые положения и аксиома отбрасывания:

Отбросив мы можем теперь последовательно отбрасывать его антецеденты до тех пор, пока не дойдем до первоначального выражения

Таким же способом можно опровергнуть любое неистинное выражение -системы. Все эти выводы можно

было бы изложить короче, но я очень хотел показать метод, содержащийся в доказательстве разрешимости. Этот метод позволяет нам на основе лишь пятнадцати основных положений аксиомы отбрасывания эффективно решить, должно ли данное осмысленное выражение -системы быть принято или отброшено. Поскольку все прочие функторы теории дедукции могут быть определены через импликацию и отрицание то все осмысленные выражения теории дедукции разрешимы на аксиоматической основе. Система аксиом, из которой могут быть выведены пятнадцать основных положений, является в этом смысле полной, так что все истинные выражения системы могут быть в ней выведены. Такого рода системой и является система из трех аксиом, изложенная в § 23, а также система из тех трех аксиом, на которых основывается преобразование IV, а именно

Доказательство теоремы (ТА), согласно которой всякое осмысленное выражение аристотелевской логики может быть сведено к элементарным выражениям, в скрытом виде содержится в доказательстве аналогичной теоремы для теории дедукции. Если мы возьмем вместо греческих букв, используемых в наших преобразованиях I—VII (за исключением заключительной переменной в преобразовании I), пропозициональные выражения аристотелевской логики, то мы сможем применить к ним эти преобразования тем же самым способом, что и к выражениям теории дедукции. В этом легко можно убедиться на примере Мы получаем:

Вместо мы всегда можем написать и вместо В последующем, однако, было бы более удобно употреблять формы с

Оба элементарных выражения к которым было сведено

имеют в качестве своего последнего термина пропозициональную переменную. Переменная вводится с помощью преобразования Мы можем освободиться от нее с помощью следующих дедуктивно эквивалентных преобразований, в которых является пропозициональной переменной, не встречающейся ни в а, ни в

Положения для преобразования VIII:

Положения для преобразования IX:

Когда принимается мы с помощью подстановки на место получаем из него выражение а затем с помощью получаем наоборот, из получаем выражение с помощью Когда отбрасывается, мы получаем с помощью следовательно, должно быть отброшено; и, наоборот, когда отбрасывается мы получаем с помощью следовательно, должно быть отброшено, а следовательно, и Преобразование IX может быть объяснено таким же путем. Его мы можем применить непосредственно к нашему примеру. Возьмите вместо вместо вместо вы получаете Таким же путем из получается Если мы имеем выражение с более чем двумя антецедентами, например с антецедентами, то сначала мы должны свести посредством повторного применения преобразования антецедент к одному антецеденту, а затем применить преобразование VIII или IX. Возьмем следующий пример:

Теорема (ТА) теперь полностью доказана; мы можем перейти поэтому к нашей главной теме — к доказательству разрешимости аристотелевской силлогистики.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление