Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 33. Элементарные выражения силлогистики

Согласно теореме (ТА), каждое осмысленное выражение аристотелевской силлогистики может быть дедуктивно эквивалентным способом сведено к ряду элементарных выражений, то есть выражений формы:

где все а — простые выражения силлогистики, то есть выражения типа или Теперь я покажу, что каждое элементарное выражение силлогистики разрешимо, то есть или принимается, или отбрасывается. Сначала я докажу, что все простые выражения, за исключением выражений типа отбрасываются. Мы уже видели (параграф 27, формула 61), что отбрасывается. Здесь даются доказательства отбрасывания других выражений:

Обращаясь теперь к сложным элементарным выражениям, последовательно исследуем все возможные случаи, опуская, где это возможно, формальные доказательства и ограничиваясь лишь наметками того, как их можно провести. Необходимо исследовать шесть случаев.

Первый случай. Консеквент отрицателен, а все антецеденты утвердительны. Такие выражения отбрасываются.

Доказательство. При отождествлении всех переменных, встречающихся в выражении с а, все антецеденты оказываются истинными, будучи законами тождества или а консеквент оказывается ложным. Мы видим, что для решения этого случая существенны законы тождества.

Второй случай. Консеквент отрицателен, вместе с тем отрицателен и только один из антецедентов. Этот случай может быть сведен к случаю с лишь одними утвердительными элементами, а такие случаи, как мы увидим позже, всегда разрешимы.

Доказательство. Выражения формы дедуктивно эквивалентны выражениям формы относительно положений Это верно не только для одного утвердительного антецедента а, но и для любого числа их.

Третий случай. Консеквент отрицателен, отрицателен и более чем один антецедент. Выражения этого рода могут быть сведены к более простым выражениям и в конечном счете ко второму случаю. Разрешение этого случая требует применения правила отбрасывания Слупецкого.

Доказательство. Предположим, что первоначальное выражение имеет форму Это предположение всегда может быть сделано, так как любой антецедент может быть передвинут на какое угодно место. Мы сводим это выражение к двум более простым выражениям опуская соответственно второй или первый антецедент. Если эти выражения имеют более одного отрицательного антецедента, мы повторяем ту же самую процедуру до тех пор, пока не получим формулы лишь с одним отрицательным антецедентом. Так как такие формулы, согласно второму случаю, дедуктивно эквивалентны разрешимым утвердительным выражениям, они всегда либо

принимаются, либо отбрасываются. Если же хотя бы одна из них принимается, первоначальное выражение также должно быть принято, так как с помощью закона упрощения мы можем прибавить к этой принятой формуле все другие отрицательные антецеденты, которые были предварительно опущены. Если, однако, все формулы с одним отрицательным антецедентом отбрасываются, мы делаем вывод с помощью повторного применения правила отбрасывания Слупецкого, что первоначальное выражение должно быть отброшено. Два примера вполне пояснят этот вопрос.

Первый пример: положение.

Мы сводим это выражение к (1) и (2):

Тем же путем мы сводим (1) к (3) и (4):

Теперь последнее выражение является положением; это модус третьей фигуры. Подставляя в выражение (6) вместо и вместо мы получаем (2), а применяя еще раз с подстановкой (2) вместо и вместо мы доходим до первоначального положения.

Второй пример: положение. Мы сводим это выражение, как и в предыдущем примере, к

затем мы сводим (1) к (3) и (4), к (5) и (6):

Ни одна из вышеприведенных формул с одним отрицательным антецедентом не является положением, что может быть доказано сведением их к случаю лишь с утвердительными элементами. Выражения (3), (4), (5) и (6) отбрасываются. Применяя правило Слупецкого, мы из отбрасываемых выражений (5) и (6) умозаключаем, что и (2) должно быть отброшено, а из отбрасываемых выражений (3) и (4) заключаем, что

Должно быть отброшено (1). Но если отброшены (1) и (2), то должно быть отброшено также и первоначальное выражение.

Четвертый случай. Консеквент утвердителен, а некоторые (или все) антецеденты отрицательны. Этот случай может быть сведен к третьему.

Доказательство. Выражения формы дедуктивно эквивалентны выражениям формы на основании положений так как всегда ложно.

Все случаи с отрицательными элементами этим исчерпываются.

Пятый случай. Все антецеденты утвердительны, а консеквент — общеутвердительное предложение. При этом надо различать несколько подслучаев.

(a) Консеквент имеет вид это выражение принимается, так как его консеквент истинен.

(b) Консеквент имеет вид является также одним из антецедентов. Выражение, конечно, принимается.

Рассмотрим, что следует из предположения, что не фигурирует в качестве антецедента.

(c) Консеквент имеет вид но ни один антецедент не принадлежит к типу отличным от а (и, конечно, от b). Такие выражения отбрасываются.

Доказательство. С помощью отождествления с всех переменных, отличных от мы можем получить лишь следующие антецеденты:

(Мы не можем получить так как ни один антецедент не принадлежит к типу где отлично от а.) Посылки могут быть опущены как истинные. (Если не имеется никаких других посылок, выражение отбрасывается, как в первом случае.) Если имеется кроме то одно из них может быть опущено, так как они эквивалентны друг другу. Если имеется то можно опустить так как подразумевает их обоих. После этих сведений в качестве антецедентов могут остаться лишь или Теперь можно показать, что обе импликации

отбрасываются на основании нашей аксиомы отбрасывания:

Если отбрасывается то должно быть отброшено также и поскольку более слабая посылка, чем

Консеквент имеет вид и существуют антецеденты типа отличным от а. Если существует цепь, ведущая от а к 6, выражение принимается на основании аксиомы 3, модуса Barbara; если такой цепи нет, выражение отбрасывается.

Доказательство. Под цепью, ведущей от а к , я понимаю упорядоченный ряд общеутвердительных посылок:

где первый термин ряда имеет а в качестве своего первого аргумента, последний термин в качестве своего второго аргумента имеет и второй аргумент каждого термина, за исключением последнего, совпадает с первым аргументом следующего за ним термина. Очевидно, что получается из ряда таких выражений в результате повторного применения модуса Barbara. Если поэтому имеется цепь, ведущая от а к 6, то выражение принимается; если же такой цепи нет, то мы можем освободиться от антецедентов типа отождествляя их второй аргумент с а. Таким путем выражение сводится к уже отвергнутому подслучаю

Шестой случай. Все антецеденты утвердительны, а консеквент — частноутвердительное предложение. Здесь мы также должны различать несколько подслучаев.

(a) Консеквент имеет вид выражение принимается, так как его консеквент истинен.

(b) Консеквент имеет вид а в качестве антецедента выступает или или или или очевидно, что во всех этих случаях выражение должно быть принято.

Рассмотрим, что следует из предположения, что ни одна из вышеприведенных четырех посылок не фигурирует в качестве антецедента.

(c) Консеквент имеет вид и ни один антецедент не принадлежит к типу отлично от а) или типу отлично от Выражение отбрасывается.

Доказательство. Мы отождествляем все переменные, отличные от a и b, с с; затем мы получаем, кроме истинных посылок типа или лишь следующие антецеденты:

подразумевает подразумевает Наиболее сильная комбинация посылок является поэтому Однако из этой комбинации не следует так как формула

эквивалентна нашей аксиоме отбрасывания.

(d) Консеквент имеет вид а среди антецедентов имеются выражения типа отлично от а), но не типа отлично от Если имеются или и цепь, ведущая от в к а:

то мы получаем из следовательно, с помощью модуса а из получаем следовательно, по модусу В обоих случаях выражение принимается. Если, однако, условия и не выполнены, то мы можем освободиться от антецедентов типа посредством отождествления их первых аргументов с а, и выражение должно быть отброшено, согласно подслучаю

(e) Консеквент имеет вид и среди антецедентов имеются выражения типа отлично от 6), но нет выражений типа отлично от а). Этот случай можно свести к подслучаю так как симметричны относительно консеквента

(f) Консеквент имеет вид и среди антецедентов имеются выражения типа отлично от а) и выражения типа отлично от Мы можем предположить, что условия и не выполняются для или же аналогичные условия — для в

противном случае, как мы уже знаем, первоначальное выражение было бы принято. Теперь, если имеются и цепь, ведущая от с к

или же и цепь, ведущая от

то мы получаем из из следовательно, в обоих случаях по модусу Darapti. Далее, если имеются антецедент и две цепи: одна ведущая от с к а, а другая — от

то мы получаем с помощью первой цепи посылку с помощью второй цепи — посылку а обе посылки вместе с дают заключение на основе полисиллогизма

Мы доказываем полисиллогизм, выводя из по модусу Disamis, а затем выводя из по модусу Во всех этих случаях первоначальное выражение должно быть принято. Если, однако, ни одно из условий (7), или не удовлетворено, то мы можем освободиться от выражений типа отождествляя их первые аргументы соответственно с а или с 6, а первоначальное выражение должно быть отброшено, согласно подслучаю

Все возможные случаи теперь исчерпаны и доказано, что всякое осмысленное выражение аристотелевской силлогистики либо принимается, либо отбрасывается на основе наших аксиом и правил вывода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление