Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 38. Основная модальная логика

Два известных схоластических принципа модальной логики: Ab oportere ad esse valet consequentia и Ab esse ad posse valet consequentia - были известны Аристотелю, однако явно им не были сформулированы. Первый принцип в нашей системе символики гласит (С — знак функтора «если —

3. , то есть Если необходимо, что то

Второй читается:

4. , то есть Если то возможно, что

Согласно отрывку из «Первой аналитики», Аристотель знает, что из ассерторического отрицательного заключения то есть вытекает проблематическое следствие «Возможно, что не то есть Мы имеем, следовательно, Александр, комментируя этот отрывок, формулирует в качестве общего правила, что существование подразумевает возможность, то есть но не наоборот, то есть должно быть отброшено. Если обозначим отбрасываемые выражения звездочкой, то получим формулу:

5. , то есть Если возможно, что тогда отбрасывается.

Соответствующие формулы для необходимости также излагаются Александром, который говорит, что необходимость подразумевает существование, то есть а не наоборот, то есть должно быть отброшено. Мы получаем, таким образом, другое отбрасываемое выражение:

6. , то есть Если то необходимо, что отбрасывается,

Формулы 1—6 допускаются традиционной логикой и, насколько мне известно, всеми современными логиками. Однако они недостаточно характеризуют как модальные функции, потому что все вышеуказанные формулы выполняются, если мы интерпретируем как всегда истинное высказывание, то есть как «р-исти-на» как всегда ложное, то есть как «р-ложь» В этой интерпретации система, построенная на формулах 1—6, перестает быть модальной логикой. Мы не можем, следовательно, принять то есть допустить, что все проблематические

предложения истинны, или же принять то есть допускать, что все аподиктические предложения ложны; оба выражения должны быть отброшены, поскольку любое выражение, которое не может быть принято, должно быть отброшено. Мы получаем, таким образом, две дополнительные отбрасываемые формулы:

7. , то есть Возможно, что отбрасывается, и

8. , то есть Не необходимо, что отбрасывается.

Обе формулы могут быть названы аристотелевскими, так как они представляют собой следствия из допускаемого Аристотелем предположения, согласно которому существуют принимаемые аподиктические предложения. Так, если принимается то также должно быть принято, а из принципа Дунса Скота мы получаем с помощью подстановки и отделения принимаемые формулы и Так как отбрасывается, то и также отбрасываются, а следовательно, и то есть должны быть отброшены.

Я называю систему «основной модальной логикой», если только она удовлетворяет формулам 1—8. Я показал, что основная модальная логика может быть аксиоматизирована на базе классического исчисления предложений. Из двух модальных функторов, один может быть взят как первичный термин, а другой может быть определен. Взяв качестве первичного термина и формулу 2 в качестве определения мы получаем следующий независимый ряд аксиом основной модальной логики:

где формула 9 дедуктивно эквивалентна формуле 1 на основании определения 2 и исчисления предложений. Взяв L в качестве первичного термина и формулу 1 в качестве определения мы получаем соответствующий ряд аксиом:

где формула 10 дедуктивно эквивалентна формуле 2 на основании определения 1 и исчисления предложений.

Выводимые формулы 9 и 10 обязательны в качестве аксиом.

Основная модальная логика является фундаментом любой системы модальной логики и всегда должна включаться в любую такую систему. Формулы 1—8 согласуются с интуициями Аристотеля и лежат у истоков наших понятий необходимости и возможности; однако они не исчерпывают всего запаса допустимых модальных законов. Например, мы полагаем, что если возможна конъюнкция, то должен быть возможен и каждый ее сомножитель, то есть в символах:

а если конъюнкция необходима, то каждый ее сомножитель должен быть необходим, то есть в символах:

Ни одна из этих формул не может быть выведена из законов 1—8. Основная модальная логика является неполной модальной системой и нуждается в добавлении к ней некоторых новых аксиом. Давайте посмотрим, как она была дополнена самим Аристотелем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление