Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 39. Законы экстенсиональности

Наиболее важная и, как мне представляется, наиболее удачная попытка Аристотеля выйти за пределы основной модальной логики заключается — в допущении им определенных принципов, которые могут быть названы «законами экстенсиональности для модальных функторов». Эти принципы можно найти в главе пятнадцатой книги первой «Первой аналитики»; они сформулированы в трех местах. Вначале мы читаем:

«Прежде всего мы должны сказать, что если необходимо должно быть, когда есть а, то необходимо, чтобы было возможно, когда возможно а»

Несколькими строками дальше Аристотель говорит, имея в виду свои силлогизмы:

«...если предположить, что обе посылки суть а, а заключение есть то (отсюда вытекает), что не только

если а необходимо, необходимо и (3, но и также, что если возможно то возможно и И в конце параграфа он опять повторяет:

«...было уже доказано, что так как когда есть а, есть и то когда возможно а, возможно и

Проанализируем сначала эти модальные законы, начав со второго отрывка, относящегося к силлогизмам.

Все аристотелевские силлогизмы представляют собой импликации формы где это конъюнкция двух посылок, заключение. Возьмем, например, модус Barbara:

Согласно второму отрывку, мы получаем две модальные теоремы в форме импликаций, имеющих в качестве антецедента и или в качестве консеквента, в символах:

Буквы символизируют здесь посылки и заключение аристотелевского силлогизма. Так как в «конце отрывка нет ссылки на силлогизмы, то мы можем трактовать эти теоремы как особые случаи общих принципов, которые мы получаем, замещая греческие буквы пропозициональными переменными:

Обе формулы могут быть названы «законами экстенсиональности» в широком смысле: первая — для вторая — для Слова «в широком смысле» требуют пояснения.

Общий закон экстенсиональности, взятый sensu stricto, является формулой (классического исчисления предложений, расширенного за счет введения переменных функторов, и имеет форму:

Грубо говоря, это означает: Если эквивалентно в таком случае если есть функция от то 5 выполняется

и для где — любой образующий предложение функтор от одного пропозиционального аргумента, например Соответственно строгие законы экстенсиональности для будут иметь форму:

Эти две формулы имеют более сильные антецеденты, чем формулы 18 и 19, и легко выводимы из них (21 — из 18, а 22 — из 19) посредством положения и принципа гипотетического силлогизма. Однако на базе исчисления предложений и основной модальной логики может быть доказано и обратное: формула 18 выводима из 21, а 19 — из 22. Я даю здесь полный вывод L-формулы:

Посылки:

Вывод:

Подобным же образом формула 19 выводима из 22 посредством посылок и транспозиции модального положения

Из вышеизложенного мы видим, что если даны исчисление предложений и основная модальная логика, то формула 18 дедуктивно эквивалентна строгому закону экстенсиональности 21, а формула 19 — строгому закону экстенсиональности 22. Мы вправе поэтому назвать эти формулы «законами экстенсиональности в широком смысле». Конечно, логичнее не делать различия между тем, завершаем ли мы L-систему основной модальной логики посредством добавления или же добавления то же самое имеет силу для

альтернативных добавлений к или же Интуитивно, однако, различие велико, формулы столь очевидны, как формулы 21 и 22. Если имплицирует но не эквивалентно ему, то не всегда верно, что если 5 выполняется для то 8 выполняется и для например, не следует из Однако если эквивалентно то всегда, если 8 выполняется для оно выполняется и для то есть если истинно, то и истинно, а если ложно, то и ложно; аналогично, если необходимо, то и необходимо, а если возможно, то и возможно. Это, кажется, должно быть совершенно очевидным, если модальные функции не рассматриваются как интенсиональные функции, то есть как функции, чьи значения истинности не зависят исключительно от значений истинности их аргументов. Но что должны означать в этом случае необходимость и возможность, — для меня до сих пор тайна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление