Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 40. Аристотелевское доказательство M-закона экстенсиональности

В вышеприведенном последнем отрывке Аристотель говорит, что он доказал закон экстенсиональности для возможности. По существу, он аргументирует так: Пусть а возможно, невозможно; тогда, когда а, как возможное, произошло бы, а поскольку оно невозможное, не произошло бы, и, следовательно, а может произойти без однако это противно посылке, что если есть а, то есть и Трудно придать этому аргументу логическую форму, так как термин «происходить» имеет скорее онтологическое, чем логическое значение. Однако комментарий, данный к этому аргументу Александром, заслуживает тщательного рассмотрения.

Аристотель определяет случайное как то, что не является необходимым и предполагаемое существование чего не заключает в себе ничего невозможного.

Александр усваивает это аристотелевское определение случайности применительно к возможности, опуская слова «что не необходимо». Он говорит: которое невозможно, не может следовать из а, которое возможно, может также быть доказано из самого определения возможности... возможно то, предполагаемое существование чего не заключает в себе ничего невозможного» К Слова «невозможно» и «ничего» требуют здесь осторожной интерпретации. Мы не можем интерпретировать «невозможное» как «то, что не возможно», потому, что таковое определение будет с кругом; мы должны или взять «невозможное» в качестве основного термина, или, взяв «необходимое» в качестве основного, определить «невозможное» как «то, что не возможно», потому, что не Я предпочитаю второй путь и буду обсуждать новое определение на базе L-основной модальной логики. Слово «ничего» должно быть представлено с помощью квантора общности, так как в противном случае определение не будет правильным. Мы получаем, таким образом, эквивалентность:

В словесном выражении это означает: «Возможно, что если и только если — для всякого если (если то то не необходимо, что не Эта эквивалентность должна быть добавлена к L-основной модальной логике как определение вместо эквивалентности 1, которая должна быть теперь доказана в качестве теоремы.

Эквивалентность 28 состоит из двух импликаций:

Из 29 мы получаем посредством теоремы и гипотетического силлогизма следствие:

а из 31 с помощью подстановки коммутации и отделения легко вывести импликацию Обратная импликация которая, будучи объединена с исходной импликацией, дает эквивалентность 1, не может быть доказана иначе, чем посредством закона экстенсиональности для Так как

это доказательство довольно сложное, даем его полностью.

Посылки:

Вывод:

Теперь мы мюжем доказать и закон экстенсиональности для что было целью рассуждения Александра. Этот закон легко получается из эквивалентности 1 и положения 37. Мы видим, кроме того, что доказательство посредством определения с кванторами без необходимости усложнено. Оно достаточно, чтобы сохранить определение 1 и добавить к L-системе L-закон экстенсиональности, для того чтобы получить М-закон экстенсиональности. Таким же путем мы можем получить L-закон экстенсиональности, если мы добавим М-закон экстенсиональности к М-системе и определению -система дедуктивно эквивалентна М-системе как с законами экстенсиональности, так и без них.

Конечно, в высшей степени невероятно, чтобы античный логик мог придумать такое точное доказательство, как данное выше. Однако сам факт, что доказательство

правильно, проливает яркий свет на аристотелевские идеи относительно возможности. Я полагаю, что он интуитивно чувствовал то, что может быть кратко выражено следующим образом: что возможно сегодня — скажем, морское сражение, - может осуществиться или стать действительным завтра; но то, что невозможно, никогда не может стать действительным. Эта идея, по-видимому, лежит в основе доказательств Аристотеля и Александра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление