Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VII. СИСТЕМА МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ

§ 46. Матричный метод

Для полного понимания системы модальной логики, излагаемой в настоящей главе, необходимо познакомиться с матричным методом. Этот метод может быть применим ко всем логическим системам, в которых встречаются функции истинности, то есть функции, значения истинности которых зависят только от значений истинности их аргументов. Классическое исчисление предложений является двузначной системой, то есть предполагает два значения истинности: «истину», обозначаемую здесь через 1, и «ложь», обозначаемую через 0. Согласно Филону из Мегары, импликация истинна всегда, кроме того случая, когда она начинается с истины, а заканчивается ложью. Символически это означает, что: и только Очевидно, что отрицание истинного предложения ложно, то есть а отрицание ложного предложения истинно, то есть Обычно эти символические равенства представляют с помощью «таблиц истинности», или, как их еще называют, «матриц». Двузначная матрица для может быть описана следующим образом: значения истинности С располагаются в строках и колонках, образующих квадрат, и отделяются прямыми линиями, идущими от левой и от верхней сторон. Значения истинности первого аргумента помещаются слева, значения истинности второго — у верхней стороны квадрата, а значения истинности С можно найти в квадрате в месте пересечения воображаемых прямых, идущих от значений истинности

аргументов к противолежащим сторонам матрицы. Матрица для легко понятна:

С помощью такой матрицы любое выражение классического исчисления предложений, то есть -исчисления, может быть механически верифицировано, то есть доказано, когда оно принимается, и опровергнуто, когда оно отбрасывается. Для этой цели достаточно подставить значения и во все возможные комбинации из переменных, и если каждая комбинация сводится согласно равенствам, сформулированным в матрице, в конечном счете к У, то выражение доказано, если же нет, то оно опровергнуто. Например, опровергается с помощью поскольку, когда мы имеем Напротив, одна из аксиом нашей -системы — доказывается с помощью так как мы имеем:

Таким же способом можем проверить выполнимость двух других аксиом -системы, и Так как построена таким образом, что свойство всегда давать 1 наследственно относительно правил подстановки и отделения для принимаемых выражений, то все принимаемые формулы -системы могут быть доказаны с помощью матрицы А так как аналогично свойство не всегда давать 1

Йаследственно относительно правил вывода для отбрасываемых выражений, то все отбрасываемые формулы -системы могут быть опровергнуты с помощью если отбрасывается аксиоматически. Матрица, которая верифицирует все формулы системы, то есть доказывает принимаемые и опровергает отбрасываемые формулы, называется «адекватной» этой системе. Матрица адекватна классическому исчислению предложений.

единственная адекватная матрица -системы. Мы получаем другую адекватную матрицу, посредством «умножения» на саму себя. Процедура получения может быть описана следующим образом:

Во-первых, мы образуем упорядоченные пары значений , а именно: они составляют элементы новой матрицы. Во-вторых, мы определяем значения истинности с помощью равенств:

Затем мы строим матрицу согласно этим равенствам; и, наконец, преобразуем в с помощью сокращений:

Символ 1 в также обозначает истину, ложь. Новые символы 2 и 3 могуг быгь интерпретированы как дополнительные знаки истинности и ложности.

В этом можно убедиться, отождествляя один из них, безразлично какой именно, с I, а другой — с 0.

Взгляните на где Вторая строка идентична первой строке, а четвертая строка — третьей; аналогично, вторая колонка в идентична первой колонке, а четвертая колонка — третьей. Вычеркивая излишние промежуточные строки и колонки, мы получаем Таким же способом мы получаем из где

— четырехзначная матрица. Умножая на мы получаем возьмизначную матрицу, дальше умножая полученное на шестнадцатизначную матрицу и в общем случае -значную матрицу. Все эти матрицы адекватны -системе и продолжают быть адекватными ей, если мы расширим систему введением в нее переменных функторов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление