Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 47. C-N-b-p-система

Мы уже встречали два положения с переменным функтором принцип экстенсиональности и положение Так как последнее положение есть аксиома нашей системы модальной логики, то необходимо до конца объяснить расширенную с помощью -систему, которую я называю, следуя Мередиту (С. A. Meredith), -системой. Это тем более необходимо, что системы с почти неизвестны даже логикам.

Введению в пропозициональную логику переменных функторов мы обязаны польскому логику Лесневскому. Посредством модификации его правила подстановки для переменных функторов я смог дать простые и

элегантные доказательства. Прежде всего необходимо объяснить это правило.

Через я обозначаю переменный функтор от одного пропозиционального аргумента и допускаю, что осмысленное выражение, если только есть осмысленное выражение. Рассмотрим же, в чем состоит значение простейшего осмысленного выражения с переменным функтором, то есть

Переменная — это отдельная буква, рассматриваемая по отношению к области тех значений, которые могут быть подставлены на ее место. На практике подстановка означает написание вместо переменной одного из ее значений, притом одного и того же значения для каждого вхождения той же самой переменной. В -системе область значений пропозициональных переменных, таких, как или составляется из всех пропозициональных выражений, которые имеют смысл в данной системе; кроме них, могут быть введены две константы, 1 и то есть константа истинного и константа ложного предложения. Какова же область значений функториальной переменной 8?

Очевидно, что вместо 8 мы можем подставить любое значение, которое совместно с дает осмысленное выражение в нашей системе. Таковыми являются не только постоянные функторы от одного пропозиционального аргумента, как, например, но также и сложные выражения, работающие подобно функторам от одного аргумента, такие, как или С помощью подстановки мы получаем из выражение а с помощью подстановки выражение Очевидно, однако, что этот вид подстановки не охватывает всех возможных случаев. Мы не можем получить этим путем из ни ни потому что ни одной подстановкой на место 8 не может быть передвинуто из его конечного положения. Тем не менее нет сомнения, что два последних выражения представляют собой почти что подстановку на место как и или поскольку как я это понимаю,

представляет все осмысленные выражения, содержащие включая и самое

Я был в состоянии преодолеть эту трудность следующим путем, который сначала объясню на примерах. Для того чтобы получить из с помощью подстановки на место 5, я пишу и совершаю подстановку, опуская 5 и заполняя отмеченное апострофом пустое место аргументом 5, то есть Таким же путем я получаю из выражение при помощи подстановки Если в выражении встречается более чем одно 5, как это имеет место в и я хочу совершить в этом выражении подстановку то я должен повсюду опустить 5 и написать на их месте заполняя пустые места соответствующими аргументами 5. Таким образом, я получаю из из из а из всего выражения получаю Из того же выражения следует при подстановке формула Подстановка означает, что 8 должно быть опущено; с помощью этой подстановки мы, например, получаем из принцип Дунса Скота Подстановка 8/8 является «тождественной» подстановкой и ничего не изменяет. Вообще говоря, из выражения, содержащего функторы 5, мы получаем новое выражение с помощью подстановки на место 8, написав вместо 8 осмысленное выражение по крайней мере с одним пустым местом и заполнив пустые места соответствующими аргументами 8. Это не новое правило подстановки, а просто описание того, как должна совершаться подстановка на место переменного функтора.

—система может быть построена на единственной принимаемой аксиоме, уже нам известной:

к которой должно быть добавлено аксиоматически отбрасываемое выражение для того чтобы выявить все отбрасываемые выражения. Мередит в своей неопубликованной статье показал, что все принимаемые формулы —системы могут быть выведены из

аксиомы 51. Правилами вывода являются обычное правило отделения и правила подстановки на место пропозициональных и функториальных переменных. Для того чтобы показать на примере, как действуют эти правила, я выведу из аксиомы 51 закон тождества Сравните этот вывод с доказательством в -системе.

Мне бы хотелось подчеркнуть, что система, основанная на аксиоме 51, значительно богаче, чем -система. Среди принимаемых следствий, содержащих , имеются такие логические законы, как все очень важные, но неизвестные подавляющему большинству логиков. Например, первый закон есть принцип экстенсиональности, эквивалентный второй может быть взят в качестве единственной аксиомы так называемой «им-пликативной» системы; третий — в качестве аксиомы так называемой «позитивной» логики. Все эти законы могут быть верифицированы матричным методом согласно данному ниже правилу.

В двузначной логике существуют четыре и только четыре различных функтора от одного аргумента, обозначаемых здесь как (см. матрицу М6).

Для верификации -выражений достаточно следующего практического правила, которым мы обязаны, в сущности, Лесневскому: последовательно пишите вместо 5 функторы затем опустите преобразуйте в Если вы получите во всех случаях истинную -формулу, то выражение должно быть принято, в противном случае оно должно быть отброшено. Пример: должно быть принято, потому что мы имеем

Выражение должно быть отброшено, так как не является истинной -формулой. Таким образом, мы видим, что все выражения —р-системы легко доказываются или опровергаются с помощью матричного метода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление