Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 48. «дельта»-определения

Функтор может быть успешно применен для выражения определений. Авторы «Principia Mathematica» выражают определения с помощью специального символа, состоящего из знака равенства который связывает определяющее с определяемым, и букв помещаемых после определения. Согласно такому методу, определение альтернативы будет выглядеть следующим образом:

где («Если не то является определяющим, или -определяемым. Символ связан со специальным правилом вывода, разрешающим замещать определяемое на определяющее, и обратно. Достоинство этого вида определения в том, что результат дается непосредственно. Но это же связано с тем недостатком, что при этом увеличивается число основных символов и правил вывода, которых должно быть как можно меньше.

Лесневский записал бы то же самое определение как эквивалентность без введения в свою систему нового основного термина для выражения определений, потому что для этой цели он выбрал эквивалентность в качестве основного термина своей логики предложений, расширенной посредством функториальных переменных и кванторов и названной им «протетикой». В этом преимущество его точки зрения. С другой же стороны, он не может непосредственно заменить определяемое определяющим или наоборот, потому что эквивалентность имеет свои собственные правила, которые позволяют делать такие замещения.

В нашей —р-системе эквивалентность не является основным термином; следовательно, она должна быть определена, но во избежание круга она не может быть определена с помощью эквивалентности. Мы увидим, однако, что возможно выражать определения посредством способом, который, сохраняя преимущества обеих точек зрения, в то же время лишен их недостатков.

Целью определения является введение нового термина, который, как правило, является сокращением некоторого сложного выражения, содержащего уже известные нам термины. Обе части определения — как определяющее, так и определяемое — должны удовлетворять некоторым условиям, для того чтобы образовать правильно построенное определение. Следующие четыре условия необходимы и достаточны для определения новых функций, вводимых в нашу систему:

(а) Как определяющее, так и определяемое должны быть пропозициональными выражениями.

(b) Определяющее должно состоять из основных терминов или из терминов, уже определенных через них.

(c) Определяемое должно содержать новый термин, введенный с помощью определения.

(d) Любая свободная переменная, встречающаяся в определяющем, должна встречаться и в определяемом, и vice versa. Легко видеть, что, например, в качестве определяющего и в качестве определяемого подчиняются четырем вышеприведенным условиям.

Обозначим теперь через два выражения, которые удовлетворяют условиям так, чтобы одно из них, безразлично какое именно, могло бы быть взято как определяющее, а другое — как определяемое. Предполагается, что ни одно из них не содержит Я утверждаю, что принимаемое выражение представляет собой определение. Например, выражение:

представляет собой определение альтернативы. Согласно 58, любое выражение, содержащее может быть непосредственно преобразовано в другое выражение, в котором замещено на В качестве примера мы можем взять принцип Дунса Скота:

из которого мы можем получить закон то есть «Если то или или посредством следующего вывода:

Если мы хотим применить наше определение к принципу Клавия

мы должны сначала поставить вместо в 58, получая таким образом

(Формула 63 читается: «Если или или то и является одним из «основных предложений» или аксиом, принимаемых авторами «Principia Mathematica». Они правильно называют эту аксиому «принципом тавтологии», так как она констатирует, что сказать то же самое дважды, или все равно, что сказать просто Принцип же Дунса Скота, например, не является тавтологией в любом разумном смысле.)

Импликация, обратная которая создает нам возможность заменять на дана вместе с первой. Мы действительно можем доказать следующую общую теорему, пользуясь только правилами подстановки и отделения:

(C) Если суть любые осмысленные выражения, не содержащие принимается, то должно быть также принято и

Доказательство:

Если, следовательно, не содержат 5 и одно из них может быть интерпретировано как определяющее, а другое — как определяемое, то ясно, что любое принимаемое выражение формы представляет собой определение, так как может быть повсюду заменено на на а это как раз и есть характерное свойство определения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление