§ 49. Четырехзначная система модальной логики

Каждая система модальной логики должна включать в качестве собственной части основную модальную логику, то есть должна иметь среди своих положений обе -аксиомы: и и L-аксиомы: Легко видеть, что как так и L отличаются от любого из четырех функторов и

двузначного исчисления. М не может быть V, так как отбрасывается, в то время как принимается; оно не может быть так как отбрасывается, в то время как принимается, оно, наконец, не может быть ни ни так как принимается, в то время как отбрасываются. То же самое верно и для Функторы не имеют интерпретации в двузначной логике. Следовательно, любая система модальной логики должна быть многозначной.

Существует еще другая идея, которая приводит к тому же самому следствию. Если мы вместе с Аристотелем допустим, что некоторые будущие события, например морское сражение, случайны, то предложения о таких событиях, высказанные сегодня, не могут быть ни истинными, ни ложными, а поэтому следует иметь третье значение истинности, отличное от 1 и 0. На основе этой идеи и с помощью матричного метода, с которым я познакомился через Пирса и Шредера, я построил в 1920 году трехзначную систему модальной логики, развитую позднее в статье 1930 года. Сегодня я вижу, что эта система не удовлетворяет всем нашим интуитивным пониманиям модальностей и должна быть заменена описанной ниже системой.

Я стою на той точке зрения, что в любой модальной логике должно быть сохранено классическое исчисление предложений. До сих пор это исчисление продемонстрировало свою надежность и полезность, и оно не должно быть отвергнуто без достаточно веских оснований. К счастью, классическому исчислению предложений удовлетворяют не только двузначная матрица, но также и многозначные адекватные матрицы. Я пытался применить к модальной логике простейшую многозначную матрицу, адекватную —р-системе, то есть четырехзначную матрицу, и мне удалось получить желаемый результат.

Как мы уже видели в параграфе 46, матрица элементами которой являются пары значений следует за из равенства

Выражение представляет собой частный случай общей формы где в и С имеют в качестве значений функторы двузначного исчисления. Так как каждое из четырех значений в может сочетаться с каждым из четырех значений С, мы получаем 16 комбинаций, которые определяют 16 функторов от одного аргумента четырехзначного исчисления. Я нашел среди них два функтора, каждый из которых может представлять Здесь я определю один из них, другой же буду рассматривать позднее.

базе (а) я получил матрицу для которую преобразовал в матрицу посредством тех же сокращений, что и в параграфе 46, а именно:

Получив, таким образом, матрицу для я выбираю в качестве основных терминов и базирую свою систему модальной логики на следующих четырех аксиомах:

Правила вывода являются правилами подстановки и отделения для принимаемых и отбрасываемых выражений.

L вводится посредством -определения:

Это означает: может быть всюду заменено на и обратно, может быть всюду заменено на

Та же система модальной логики может быть создана употреблением в качестве основных терминов с аксиомами:

и -определение

М9 представляет собой вполне адекватную матрицу системы:

Я надеюсь, что после вышеприведенных разъяснений каждый читатель будет в состоянии верифицировать с помощью этой матрицы любую формулу, принадлежащую к системе, то есть доказать принимаемые формулы и опровергнуть отбрасываемые.

Я могу доказать, что система полна (complete) в том смысле, что любое принадлежащее ей осмысленное выражение разрешимо, будучи либо принимаемым, либо отбрасываемым. Она также консистентна, то есть непротиворечива, в том смысле, что ни одно осмысленное выражение не может одновременно и приниматься и отбрасываться. Система аксиом удовлетворяет требованию независимости.

Мне хотелось бы подчеркнуть, что аксиомы системы совершенно очевидны. Аксиома с 5 должна быть признана всеми логиками, которые принимают классическое исчисление предложений; аксиомы с М также Должны быть приняты в качестве истинных; наконец, правила вывода также очевидны. Все правильно выведенные следствия системы должны допускаться теми,

кто принял аксиомы и правила вывода. Нельзя придумать ни одного серьезного возражения против этой системы. Мы увидим, что эта система опровергает все ложные выводы, полученные в связи с модальной логикой, объясняет трудности аристотелевской модальной силлогистики и открывает ряд неожиданных логических фактов, имеющих большое значение для философии.