Макеты страниц § 49. Четырехзначная система модальной логикиКаждая система модальной логики должна включать в качестве собственной части основную модальную логику, то есть должна иметь среди своих положений обе
Существует еще другая идея, которая приводит к тому же самому следствию. Если мы вместе с Аристотелем допустим, что некоторые будущие события, например морское сражение, случайны, то предложения о таких событиях, высказанные сегодня, не могут быть ни истинными, ни ложными, а поэтому следует иметь третье значение истинности, отличное от 1 и 0. На основе этой идеи и с помощью матричного метода, с которым я познакомился через Пирса и Шредера, я построил в 1920 году трехзначную систему модальной логики, развитую позднее в статье 1930 года. Сегодня я вижу, что эта система не удовлетворяет всем нашим интуитивным пониманиям модальностей и должна быть заменена описанной ниже системой. Я стою на той точке зрения, что в любой модальной логике должно быть сохранено классическое исчисление предложений. До сих пор это исчисление продемонстрировало свою надежность и полезность, и оно не должно быть отвергнуто без достаточно веских оснований. К счастью, классическому исчислению предложений удовлетворяют не только двузначная матрица, но также и многозначные адекватные матрицы. Я пытался применить к модальной логике простейшую многозначную матрицу, адекватную Как мы уже видели в параграфе 46, матрица
Выражение
Получив, таким образом, матрицу для
Правила вывода являются правилами подстановки и отделения для принимаемых и отбрасываемых выражений. L вводится посредством
Это означает: Та же система модальной логики может быть создана употреблением
и
М9 представляет собой вполне адекватную матрицу системы:
Я надеюсь, что после вышеприведенных разъяснений каждый читатель будет в состоянии верифицировать с помощью этой матрицы любую формулу, принадлежащую к системе, то есть доказать принимаемые формулы и опровергнуть отбрасываемые. Я могу доказать, что система полна (complete) в том смысле, что любое принадлежащее ей осмысленное выражение разрешимо, будучи либо принимаемым, либо отбрасываемым. Она также консистентна, то есть непротиворечива, в том смысле, что ни одно осмысленное выражение не может одновременно и приниматься и отбрасываться. Система аксиом удовлетворяет требованию независимости. Мне хотелось бы подчеркнуть, что аксиомы системы совершенно очевидны. Аксиома с 5 должна быть признана всеми логиками, которые принимают классическое исчисление предложений; аксиомы с М также Должны быть приняты в качестве истинных; наконец, правила вывода также очевидны. Все правильно выведенные следствия системы должны допускаться теми, кто принял аксиомы и правила вывода. Нельзя придумать ни одного серьезного возражения против этой системы. Мы увидим, что эта система опровергает все ложные выводы, полученные в связи с модальной логикой, объясняет трудности аристотелевской модальной силлогистики и открывает ряд неожиданных логических фактов, имеющих большое значение для философии.
|
Оглавление
|