Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 50. Необходимость и четырехзначная система модальной логики

В конце главы VI были отмечены две значительные трудности: первая связана с допущением Аристотелем принимаемых аподиктических предложений, вторая — с допущением им принимаемых случайных предложений. Давайте решим сначала первую трудность.

Если рассматривать все аналитические предложения как необходимо истинные, то тогда наиболее типичное аналитическое предложение — принцип тождества также должно рассматриваться как необходимо истинное. Это ведет, как мы видели, к ложному заключению о том, что два любых индивидуума необходимо тождественны, если они вообще тождественны.

Это заключение не может быть получено из нашей системы модальной логики, так как может быть доказано, что в этой системе ни одно аподиктическое предложение не истинно. Поскольку это доказательство основывается на законе экстенсиональности мы должны сначала показать, что этот закон следует из нашей системы.

Следствие аксиомы 51 гласит:

Из 66 с помощью подстановки следует формула

а из 67 мы получаем с помощью подстановки аксиомы 4 и посредством гипотетического силлогизма сильный М-закон экстенсиональности:

Сильный L-закон экстенсиональности выводим из 19 посредством транспозиций. Проблема, оставшаяся неразрешенной в параграфе 42: какую следует принять, сильную или слабую интерпретацию аристотелевских законов экстенсиональности, разрешается в пользу сильной интерпретации. Доказательство того, что ни одно аподиктическое предложение не истинно, теперь будет дано с полной четкостью.

Посылки:

Вывод:

Употребление греческой переменной а требует пояснения. Консеквент формулы который означает то же самое, что и отбрасываемое выражение разрешает в соответствии с нашими правилами отбрасывание антецедента и любую подстановку в Это, однако, не может быть выражено посредством потому что из отбрасываемого выражения с помощью подстановки ничего не может быть получено; так, например, отбрасывается, а — подстановка в принимается. Для того чтобы выразить, что антецедент 70 отбрасывается при любом аргументе я употребляю греческие буквы, называя их «интерпретационными переменными» в противоположность «подстановочным переменным», обозначаемым латинскими буквами. Так как предложению а может быть дана любая интерпретация, представляет собой общий закон и означает, что любое выражение, начинающееся с то есть любое аподиктическое предложение, должно быть отброшено.

Этот результат, подтверждается матрицей для которая строится из матриц для согласно

Определению Каждый может обнаружить, взглянув на М9, что L в качестве своих значений истинности имеет лишь 2 и 0, но никогда не имеет 1.

Проблема ложных следствий, получающихся при применении модальной логики к теории тождества, теперь легко решается. Так как будучи аподиктическим предложением, не может быть принято, то невозможно получить с помощью отделения из посылок

следствие: Действительно, матричным способом можно доказать, что должно быть принято, поскольку оно всегда дает должно быть отброшено. Поскольку принцип тождества истинен, то есть то мы получаем Выражение может иметь одно из четырех значений: 1, 2, 3 или 0.

Следовательно, доказано, поскольку конечный результат его матричной редукции всегда равен Напротив, опровергнуто, потому что для мы имеем:

Хороший и поучительный пример вышеупомянутой трудности был дан Куайном, который опрашивает, в чем ошибка следующего умозаключения:

(a) Утренняя звезда необходимо тождественна утренней звезде.

(b) Но Вечерняя звезда не необходимо тождественна Утренней звезде (будучи просто тождественна ей в действительности).

(c) Но один и тот же объект не может обладать противоречащими свойствами (не может быть и и не быть А).

(d) Следовательно, Утренняя звезда и Вечерняя звезда — различные предметы.

Разрешить это затруднение очень просто, приняв мою систему. Умозаключение ошибочно, потому что посылки (а) и (b) не истинны и не могут быть приняты, так что заключение (d) не может быть выведено из (а) и (6), несмотря на тот факт, что импликация правильна (третья посылка может быть опущена, поскольку она истинна). Вышеупомянутая импликация может быть доказана следующим путем.

Обозначим через х Утреннюю звезду, а через Вечернюю звезду, тогда (а) есть есть которое эквивалентно так как тождество является симметричным отношением, есть Мы получаем, таким образом, формулу которая является правильным преобразованием истинного положения

Пример, приведенный Куайном, может теперь быть верифицирован с помощью нашей четырехзначной матрицы следующим образом: если имеют то же самое значение, как и прежде, то тогда отсюда так что мы имеем, согласно Импликация истинна, но так как ни один из ее двух антецедентов не истинен, то заключение может быть ложным.

Мы увидим в следующей главе, что подобная же трудность была причиной полемики между Аристотелем и его друзьями Теофрастом и Евдемом. Философские выводы из этого важного открытия, что ни одно аподиктическое предложение не истинно, будут изложены в параграфе .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление