Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 52. Случайность и четырехзначная система модальной логики

Мы уже знаем, что вторая значительная трудность аристотелевской модальной логики связана с его предположением об истинности некоторых случайных предложений. На основании положения

которое является преобразованием нашей аксиомы 51, мы получаем следующие следствия:

Это означает, что выражение 79 отбрасывается при любом предложении а, так как а является здесь интерпретационной переменной. Следовательно, не существует такого а, которое бы верифицировало оба предложения «Возможно, что а» и «Возможно, что не а», то есть не существует истинного случайного предложения Т, если

определяется, вслед за Аристотелем, при помощи конъюнкции то есть посредством

Этот результат подтверждается с помощью матричного метода. Принимая обычное определение

мы получаем для К матрицу и имеем:

Мы видим, что конъюнкция имеет постоянное значение 3 и поэтому никогда не истинна. Отсюда то есть не существует ни одного истинного случайного предложения в смысле, установленным определением 80.

Аристотель, однако, думает, что предложения «Возможно, что завтра будет морское сражение» и «Возможно, что завтра не будет морского сражения» сегодня оба могут быть истинными. Таким образом, согласно его идее случайности, случайные предложения могут быть истинными.

Существует два пути устранения этого противоречия между аристотелевским пониманием и нашей системой модальной логики: мы должны или отрицать, что предложения могут быть одновременно и случайными и истинными, или же видоизменить аристотелевское определение случайности. Я избираю второй путь, используя открытые выше парные типы возможности.

Бросая монету, мы можем получить выпадение либо герба, либо решки; другими словами, возможно выпадение герба и возможно, что герб не выпадет. Мы склонны рассматривать оба предложения как истинные. Но они не могут быть оба истинными, если первая «возможность» обозначается тем же функтором, что и вторая. Первая возможность в такой же мере справедлива, как и вторая, но из этого не следует, что она должна быть обозначена таким же образом. Возможность выпадения герба отлична от возможности его невыпадения. Мы можем обозначить одну через а другую — через Предложение с утвердительным аргументом «Возможно, что может быть передано как предложение с отрицательным аргументом «Возможно, что не как или же первое как а второе как Так мы получаем два функтора случайности, скажем определенных следующим образом:

Перевести эти определения на обыкновенный язык невозможно, так как у нас нет наименований для двух видов возможности и случайности. Назовем их -воз-можное» и -возможное», -случайное» и -случайное». Тогда, грубо говоря, мы можем сказать, что есть -случайное» означает есть М-возможное и есть -возможное», а есть -случайное» означает есть -возможное и есть М-возможное».

Из определений 82 и 83 мы можем вывести матрицы для Мы получаем:

Матрица показывает, что как так и оказывается, должны быть истинными для некоторых значений при при Теперь доказано, что имеет постоянное значение 3; аналогично может быть показано, что имеет постоянное значение 2. Мы получаем, таким образом, две принимаемые формулы:

Это означает, что в нашей системе существует истинное -случайное и истинное -случайное предложение. Мы смогли согласовать случайность в смысле Аристотеля с нашей четырехзначной модальной логикой.

Из также следует, что -случайность и -случайность являются близнецами. Если мы в заменим 2 на 3, и 3 — на 2, то X станет У, а станет Тем не менее X отлично от У, и притом отлично в большей мере, чем М от потому что предложения являются противоречащими. С помощью легко усмотреть, что имеют силу следующие равенства:

Законы противоречия и исключенного третьего истинны для то есть мы имеем:

Это означает: ни одно предложение не может быть сразу и -случайно и -случайно, и любое предложение является или -случайным или -случайным. Отрицание -случайного предложения есть -случайное предложение,

и, обратно, отрицание -случайного предложения есть -случайное предложение. Это звучит как парадокс, так как мы привыкли думать, что то, что не является случайным, либо невозможно, либо необходимо, соотнося невозможность и необходимость с одним и тем же видом возможности. Однако неверно говорить, что то, что не является -случайным, есть либо М-невозможное, либо М-необходимое; скорее надо сказать, что то, что не является -случайным, есть либо М-невозможное, либо -необходимое, а то, что либо М-невозможно, либо -необходимо является эквивалентным существованию -случайного.

То же самое недоразумение лежит в основе полемики вокруг положения:

которое принимается в нашей системе. Льюис в некоторых своих модальных системах принимает формулу:

но отбрасывает обратную ей формулу, то есть 88, с помощью следующего аргумента: «Если возможно, что оба истинны, то возможно и возможно. Эта импликация необратима. Например, возможно, что читатель увидит это сразу. Так же возможно, что он не увидит этого сразу. Однако невозможно, чтобы он и увидел это сразу и не увидел этого сразу». Убедительность этого аргумента иллюзорна. Что здесь имеется в виду под словом «читатель»? Если имеется в виду индивидуальный читатель, скажем это означает, что либо увидит это сразу, либо не увидит этого сразу. В первом случае первая посылка «Возможно, что увидит это сразу» истинна, но вторая посылка ложна, а как может ложное предложение быть возможно истинным? Во втором случае вторая посылка истинна, но первая — ложна, а ложное предложение не может быть возможно истинным. Две посылки формулы 88 обе вместе недоказуемы, и формула этим путем не может быть опровергнута.

Если же под «читателем» имеется в виду некоторый читатель, то посылки «Возможно, что некоторый читатель увидит это сразу» и «Возможно, что некоторый читатель не увидит этого сразу» могут быть обе истинными, но в этом случае заключение «Возможно, что некоторый читатель увидит это сразу, а некоторый читатель не увидит этого сразу» также, очевидно, истинно. Конечно, один и тот же читатель не сможет увидеть и не увидеть это одновременно. Пример, данный Льюисом, не опровергает формулы 88, напротив, он подтверждает ее правильность.

Однако, по-видимому, этот пример не следовало бы выбирать. С прибавлением слова «сразу» посылка утрачивает свой характер случайности. Говоря, что читатель увидит это или нет «сразу», мы относим это к чему-то, что решается в момент, когда он смотрит. Истинная же случайность относится к неразрешимым [в данный момент. — Перев.] событиям. Обратимся к примеру с монетой, который является аналогичным примеру Аристотеля с морским сражением. Оба примера касаются событий, которые неразрешимы в настоящем, но будут разрешимыми в будущем. Поэтому посылки «Возможно, что выпадет герб» и «Возможно, что герб не выпадет» могут быть обе истинными в настоящем, в то время как заключение «Возможно, что герб и выпадет и не выпадет» никогда не истинно. Мы знаем, однако, что случайность не может быть определена с помощью конъюнкции но либо с помощью либо с помощью так что приведенный выше пример не подпадает под положение 88. Он, следовательно, не может его опровергнуть. Это не было известно Льюису и другим логикам, и, исходя из ошибочного понимания случайности, они отбросили обсуждаемое положение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление