Главная > Разное > Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 59. Законы обращения случайных предложений

Продолжая свое изложение законов обращения модальных предложений, Аристотель в начале «Первой аналитики» говорит, что общеотрицательные случайные предложения не обратимы, тогда как частноотрицательные — обратимы.

Это любопытное утверждение требует внимательного изучения. Вначале я критически рассмотрю его, однако не с точки зрения моей модальной системы, а с точки зрения основной модальной логики, принимаемой Аристотелем и всеми логиками.

Согласно Аристотелю, случайность есть то, что не необходимо и не невозможно. Такое понимание случайного явно подразумевается в несколько неуклюжем

определении Аристотеля и выразительно подтверждается Александром. Повторим его для того, чтобы гарантировать здесь полную ясность: случайно означает то же самое, что и не необходимо и не невозможно», или в символической форме:

Эта формула, очевидно, эквивалентна выражению

то есть случайно то, что может быть, а может и не быть.

Формулы 48 и 50 являются весьма общими и применимы к любому предложению Применим их к общеотрицательному предложению Мы получаем из 50:

Так как эквивалентно мы также имеем:

Теперь мы можем вывести из законов обращения:

что эквивалентно эквивалентно отсюда мы имеем:

Первая часть этой формулы, эквивалентна ТЕЬа, вторая часть, эквивалентна так что мы имеем в итоге:

Это означает, что случайные общеотрицательные предложения обратимы.

Как же случилось, что Аристотель не заметил этого простого доказательства, когда в его распоряжении имелись все его посылки? Мы здесь уже касались других изъянов его модальной логики, даже более трудных для исправления, нежели те, которые были вызваны аристотелевской идеей о необходимости. Посмотрим же, как Аристотель пытается опровергнуть формулу 136.

Аристотель весьма общо замечает, что случайные предложения с противоположными аргументами взаимно обратимы относительно своих аргументов. Следующие примеры пояснят эту не очень ясную формулировку. «Случайно, что будет а» обратимо с «Случайно, что не будет а»; «Случайно, что каждое будет а» обратимо с «Случайно, что ее каждое будет а»; и «Случайно, что некоторое будет а» обратимо со «Случайно, что некоторое не будет а». Этот вид обращения я буду, следуя Дэвиду Россу, называть «дополнительным обращением».

Согласно этому, Аристотель мог бы принять, что предложение «Случайно, что каждое будет а» обратимо с предложением «Случайно, что ни одно не будет а», или в символах:

Это есть исходный пункт его доказательства, которое совершается посредством reductio ad absurdum. Он аргументирует, в сущности, так: Если обратимо с то будет обратимо с а так как обратимо с мы должны получить ложное следствие:

Что мы должны сказать по поводу этого аргумента? Совершенно очевидно, что принимаемое Аристотелем определение случайности влечет за собой обратимость случайных общеотрицательных предложений. Следовательно, опровержение этой обратимости должно быть ошибочно. Так как оно формально правильно, то ошибка должна заключаться в посылках. А так как имеются две посылки, на которых основывается это опровержение: принимаемая формула и отбрасываемая то либо ошибочно принимать либо ошибочно отбрасывать Однако этот вопрос невозможно решить в пределах основной модальной логики.

В пределах ее границ мы можем только сказать, что истинность принимаемой формулы не оправдывается принятым определением случайности. Из определения:

с помощью подстановки мы получаем формулу так как эквивалентно согласно положению 9 основной модальной логики, мы имеем:

Из 50 и 137 вытекает следствие:

а, применяя это следствие к посылке мы получаем:

так как означает то же самое, что Мы видим, что оправдывается определением случайности, не оправдывается. Эта последняя формула допускалась Аристотелем по ошибке.

Мы лучше поймем эту ошибку, если рассмотрим аристотелевское опровержение попытки доказать закон обращения для с помощью reductio ad absurdum. Эта попытка гласит: если мы предполагаем случайным, что ни одно не будет а, то тогда случайно, что ни одно а не будет Ибо если последнее предложение было бы ложно-, то было бы необходимо, чтобы некоторое а было а отсюда было бы необходимо, чтобы некоторое было а, что противоречит нашему

предположению. В символической форме: если предположить, что истинно, то также должно быть истинным. Ибо из следует следовательно, что несовместимо с предположением

Опровергая этот аргумент, Аристотель правильно указывает, что не следует из Действительно, согласно 48, мы имеем эквивалентность:

Так, для применяя то есть один из так называемых «законов де Моргана», мы имеем формулу:

Легко видеть, что с помощью 143 и положения мы можем вывести из обратная импликация не имеет места, так как из мы можем вывести только альтернативу из которой конечно, не следует. Попытка доказательства проваливается, но из этого не следует, что заключение, которое доказывалось, ложно.

Один момент этого сведения заслуживает нашего внимания: видимо, вместо 143 Аристотель принимает формулу:

которая не оправдывается определением 48. Подобным же образом, для случая он принимает формулу:

которая опять-таки не оправдывается с помощью 48, в то время как правильная формула гласит:

Из Аристотель мог бы вывести эквивалентность а затем которое не оправдывается его определением случайности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление