Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Затухающий апериодический процесс.

Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения действительны, т. е. когда . В этом случае, обозначая

получим корни характеристического уравнения:

Поэтому общее решение уравнения (1.16) может быть записано в виде

Здесь определяются начальными условиями. Именно, если для то

Нашей задачей является исследовать характер возможных движений в зависимости от начальных условий.

Во-первых, очевидно, что при всяких начальных условиях движение затухает, так как значит, при Чтобы выяснить подробнее характер затухания, найдем и — моменты времени (т. е. промежутки времени после начального момента), для которых соответственно обращаются в нули Воспользовавшись (1.40), находим следующие уравнения для определения

Из этих уравнений сразу видно, что каждое из них имеет не более одного корня; таким образом, осцилляторное затухание невозможно, мы имеем дело с гак называемым апериодическим процессом.

Выясним, когда уравнение, определяющее не имеет ни одного положительного корня. В этом случае движение монотонно затухает, асимптотически стремясь к нулю. Как видно из выражения для это будет, если

На рис. 25 указана область начальных значений, которые

удовлетворяют этому неравенству (область II). Для остальных начальных значений — уравнение, определяющее имеет положительный корень; это значит, что смещение не убывает монотонно, а сначала возрастает по абсолютной величине и, лишь достигнув некоторого экстремума, начинает убывать, асимптотически стремясь к нулю.

Здесь следует различать два случая, смотря по тому, имеет ли при рассматриваемых начальных условиях уравнение, определяющее положительный корень или такого корня нет. Если такого корня нет, то смещение в течение всего времени движения сохраняет свой знак; система отдаляется от положения равновесия, достигает некоторого максимального отклонения и затем монотонно приближается к положению равновесия (но не проходит через положение равновесия). По (1.41) этот случай имеет место, если

На рис. 25 цифрой отмечены области начальных значений приводящих к движениям такого типа.

Рис. 25.

Если уравнение, определяющее имеет положительный корень, то система сначала приближается к положению равновесия, в момент проходит через положение равновесия, далее в момент достигает некоторого максимального отклонения в направлении, противоположном начальному отклонению, и, наконец, монотонно приближается к положению равновесия, не достигая, однако, его в конечное время.

На рис. 25 область III соответствует начальным значениям, приводящим к такого рода движениям.

Связь между характером движения и начальными условиями можно представить графически еще и в другом виде, именно изобразить зависимость смещения от времени для всех трех случаев

Это и выполнено на рис. 26, причем предполагается, что во всех случаях начальное смещение

Рис. 26.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление