Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Зависимость качественной картины траекторий от параметра

Мы уже неоднократно рассматривали случай, когда в правые части дифференциальных уравнений, соответствующих рассматриваемой динамической системе, входит некоторый параметр, и занимались вопросом об изменении качественной структуры разбиения на траектории при изменении этого параметра (см. гл. И). Сейчас мы остановимся на этом вопросе подробнее и при более общих предположениях относительно рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, чем в гл. II.

Всякая система уравнений, соответствующая реальной физической системе, содержит некоторое число параметров, границы изменения которых определяются из условий задачи. Такими параметрами могут быть, например, коэффициент взаимоиндукции, сопротивление контура и т. д. Предположим, что мы дали этим параметрам некоторые фиксированные значения. Согласно сказанному в предыдущем параграфе мы должны считать, что качественная картина траекторий на

фазовой плоскости при данных частных значениях параметров лишь в том случае отображает реальные черты физической системы, если эта качественная картина не меняется при «малых» изменениях параметров, т. е. если при данных частных значениях параметров система является грубой Однако при значительных изменениях параметров характер движения физической системы, вообще говоря, может сильно меняться. Так, например, при одних значениях параметров в системе могут иметь место автоколебания, а при других автоколебания могут отсутствовать. В соответствии с этим при значительных изменениях параметров будет изменяться и качественная картина траекторий, определяемая дифференциальными уравнениями, соответствующими рассматриваемой физической системе.

Нашей задачей и будет изучение изменения качественной картины траекторий на фазовой плоскости при изменении параметров. При этом для простоты мы предположим, что правые части рассматриваемой системы дифференциальных уравнений зависят только от одного параметра (в случае большего числа параметров рассмотрение аналогично). Таким образом, рассматриваемая система имеет вид:

Мы предположим, кроме того, что правые части являются аналитическими функциями х и у для значений этих переменных в некоторой области О (не зависящей от и аналитическими функциями для значений в области где и некоторые постоянные.

Основными теоремами, необходимыми для исследования изменений траекторий при изменении параметра, являются сформулированные в Дополнении I теоремы IV, V и VI. Однако, как мы уже отмечали в § 4 настоящей главы, эти теоремы отвечают лишь на вопрос о том, как при изменении параметра меняется часть траектории, соответствующая конечному промежутку времени, и непосредственно ничего не говорят о том, как будет меняться целая траектория или как будет меняться качественная картина траекторий. Вопрос о том, как может меняться качественная картина траекторий при изменении параметра, требует специального рассмотрения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление