Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Бифуркационное значение параметра.

Напомним введенное в § 5 гл. II определение бифуркационного значения параметра. Пусть нам дано какое-нибудь значение Если существует такое в что для всех значений

удовлетворяющих условию топологическая структура разбиения фазовой плоскости на траектории одинакова, то мы скажем, что есть обыкновенное значение параметра; значение называется бифуркационным значением параметра, если найдутся сколь угодно близкие к значения параметра для которых качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории отлична от такой же картины, соответствующей Из самого определения бифуркационного значения параметра очевидно, что для такого значения система не может быть грубой.

Качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории, как мы знаем, определяется так называемыми особыми элементами, особыми траекториями (см. § 3 настоящей главы). Поэтому, чтобы изучить зависимость качественной картины фазовых траекторий от параметра, следует изучить зависимость от параметра системы особых элементов. В этом параграфе мы рассмотрим ряд случаев зависимости особых элементов, главным образом предельных циклов, от параметра.

Пусть при наша система является грубой, т. е. на фазовой плоскости существует цикл без прикосновения, определяющий собой область внутри которой все состояния равновесия грубые, т. е. таковы, что для них и при все предельные циклы имеют характеристические показатели, отличные от нуля, и сепаратрисы не идут из седла в седло. Очевидно, что в этом случае значение не может быть бифуркационным по самому определению грубых систем и по нашему предположению об аналитичности правых частей уравнений (6.22) как функций

Действительно, нетрудно видеть, что если соответствует грубой системе, то мы всегда можем указать интервал (достаточно малый) значений вокруг чтобы при значениях из этого интервала система также была грубой, и при этом качественная картина траекторий была бы такой же, как и при Отсюда ясно, что не может быть «последнего грубого» (т. е. соответствующего грубой системе) значения но может быть «первое негрубое».

Предположим для упрощения рассуждений, что при всех рассматриваемых изменениях параметра цикл без прикосновения так и остается циклом без прикосновения. Очевидно, что только те значения параметра могут быть бифуркационными, при которых появляются особые элементы, имеющие негрубую природу.

Укажем простейшие случаи таких негрубых образований:

1) сложные состояния равновесия (такие состояния равновесия могут либо появиться вновь, либо получиться от слияния простых точек, например узла и седла);

2) вырожденный фокус или центр;

3) двойной предельный цикл (такой цикл может либо появиться вновь, либо получиться от слияния устойчивого и неустойчивого циклов);

4) сепаратриса, идущая из седла в седло.

При дальнейшем изменении параметра система может опять сделаться грубой; сложная особая точка может или исчезнуть, или разбиться на простые; вырожденный фокус может, как мы увидим в дальнейшем, стать невырожденным, изменяя при этом устойчивость и породив предельный цикл, и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление