Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Физический пример.

Рассмотрим для иллюстрации сказанного так называемое мягкое возбуждение автоколебаний в ламповом генераторе. Уравнение лампового генератора с колебательным контуром в цепи сетки при обычных идеализациях и при аппроксимации характеристики лампы полиномом третьей степени

где - анодный ток, — переменная составляющая напряжения на сетке лампы, а коэффициенты и положительны, имеет следующий вид (см., например, гл. IX):

Если ввести безразмерные переменные где некоторый масштаб напряжений) и то уравнение колебаний лампового генератора запишется в виде следующей системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

где

Будем рассматривать состояние равновесия и будем исследовать возможное рождение цикла из этого состояния равновесия при изменении коэффициента взаимоиндукции обратной связи Характеристическое уравнение для этого состояния равновесия имеет вид:

откуда

Бифуркационное значение параметра равно

откуда

Перейдем теперь к вычислению На основании (6.25) и (6.27) имеем:

откуда по формулам (6.26) находим:

Так как по предположению то мы имеем по нашей классификации первый случай — случай а): при возрастании фокус из устойчивого делается неустойчивым и при этом появляется устойчивый предельный цикл. Отсюда следует, что при но достаточно близких к в системе наверное возможен устойчивый автоколебательный процесс. Заметим, что если бы было то мы имели бы второй случай — случай б), когда при возрастании фокус из устойчивого делается неустойчивым и при этом неустойчивый цикл стягивается в точку.

Сделаем еще два замечания: 1) если бы мы учли дальнейшие члены в разложении характеристики, пропорциональные то, как легко видеть из уравнений (6.26), эти члены никак не повлияли бы на решение вопроса о рождении или исчезновении цикла, если все наши выводы сделаны без всяких предположений о малости величин Аналогичное рассмотрение возникновения автоколебаний в ламповом генераторе при увеличении обратной связи, гораздо более далеко идущее (изменения циклов будут прослежены не только в непосредственной близости к особой точке), будет сделано в гл. IX; однако при этом придется предъявить определенные требования малости к коэффициентам характеристики лампы, к сопротивлению и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление