Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Появление предельных циклов из сепаратрисы, идущей из седла в седло, и из сепаратрисы состояния равновесия седло-узел при его исчезновении.

Скажем несколько слов еще о двух простейших случаях рождения предельного цикла (и соответственно исчезновения предельных циклов), именно, о рождении предельного цикла при исчезновении сложной особой точки и о рождении

предельного цикла от сепаратрисы. Эти случаи представляют очень большой интерес как с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения физики.

Предположим, что при некотором значении параметра из рассматриваемого промежутка система дифференциальных уравнений имеет седло и две выходящие из этого седла сепаратрисы стремятся к одному и тому же узлу (рис. 318, I).

Рис. 318.

Пусть кроме этого при увеличении седло и узел сближаются и, наконец, при некотором значении сливаются в одну сложную особую точку седло-узел (рис. 318, II).

Рис. 319.

Тогда одна из сепаратрис этого седла-узла (обозначим ее через выходящая из седла-узла, будет вновь входить в него (при ) (рис. 318, II). Если при дальнейшем увеличении сложная особая точка седло-узел исчезает, то непременно появляется предельный цикл, лежащий при значениях достаточно близких к в сколь

угодно малой окрестности сепаратрисы (рис. 318, III). Очевидно также, что предельный цикл может исчезнуть, если с увеличением (или уменьшением) параметра при некотором значении на нем появляется сложная особая точка седло-узел, которая затем разделится на две.

Рассмотрим теперь случай рождения цикла от сепаратрисы седла. Предположим, что сепаратрисы седла при некотором значении из рассматриваемого промежутка имеют расположение, представленное на рис. 319, I, а при увеличении (или уменьшении) сближаются и, наконец, при некотором значении сливаются и образуют «петлю сепаратрисы» (т. е. при существует сепаратриса седла О, выходящая из этого седла и вновь возвращающаяся в него) (рис. 319, II). Если при дальнейшем увеличении (или уменьшении) параметра сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 319, III, то при этом от петли сепаратрисы отделяется («рождается») хотя бы один предельный цикл. Очевидно, что обратно предельный цикл может исчезнуть, предварительно сливаясь с петлей сепаратрисы. В обоих рассмотренных случаях рис. 319, II соответствует бифуркационному значению параметра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление