Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Ламповый генератор

1. Уравнение колебаний.

В качестве первой задачи мы рассмотрим автоколебания лампового генератора с колебательным контуром в цепи сетки или в цепи анода (рис. 348).

Рис. 348.

Если пренебречь анодной реакцией, сеточными токами и внутриламповыми емкостями, то, как мы видели в гл. I, § 6, уравнение колебаний такого лампового генератора может быть записано в следующем виде:

В настоящем параграфе мы примем кусочно-линейную аппроксимацию характеристики лампы изображенную на рис. 349:

Рис. 349.

где — крутизна восходящего участка характеристики и абсолютная величина напряжения запирания лампы Введем безразмерные переменные где «томсоновская» частота колебательного контура. В этих переменных уравнение (8.3) при кусочно-линейной аппроксимации характеристики лампы (8.4) запишется следующим образом:

где

Таким образом, при такой кусочно-линейной аппроксимации характеристики лампы фазовая плоскость лампового генератора разбивается прямой на две области (I) и (II) (рис. 350), в каждой из которых фазовые траектории определяются соответствующим линейным дифференциальным уравнением Мы, очевидно, должны считать фазовые траектории непрерывными кривыми всюду и, в частности, на границе областей линейности — на прямой

Единственное состояние равновесия лежит в области (II); оно устойчиво при (т. е. при и неустойчиво Ниже мы будем рассматривать только последний случай — случай «еамовозбуждающегося» генератора. Поскольку состояние равновесия является неустойчивым фокусом и неустойчивым узлом при и никогда

не является седлом, особыми траекториями, определяющими качественно характер разбиения фазовой плоскости на фазовые траектории, будут уже известное нам состояние равновесия и предельные циклы, если последние существуют. Поэтому нашей основной задачей является отыскание предельных циклов и исследование их устойчивости.

Так как дифференциальные уравнения фазовых траекторий — уравнения колебаний генератора (8.5) — являются линейными в каждой из областей (I) и (II), то на фазовой плоскости не может быть предельных циклов, лежащих целиком только в одной области (только в области или только в области Предельный цикл, если он существует, должен проходить через обе области и охватывать состояние равновесия. Следовательно, он будет пересекать границу этих двух областей — прямую

Рис. 350.

Разобьем эту прямую на две полупрямые — на полупрямую и на полупрямую Эти полупрямые, очевидно, являются полупрямыми без контакта: полупрямая пересекается фазовыми траекториями, идущими (при возрастании из области (II) в область (I), а полупрямая траекториями, идущими из области (I) в область (II).

Рассмотрим фазовую траекторию, выходящую из некоторой точки полупрямой Эта траектория, пройдя по области (I), пересечет полупрямую в точке и затем, если т. е. если фазовые траектории в области (II) являются спиралями, вновь выйдет на полупрямую 5 в некоторой точке (рис. 350). Тем самым фазовые траектории при осуществляют точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя, ставя во взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точки этой полупрямой. Неподвижная точка этого преобразования, очевидно, является точкой пересечения предельного цикла с полупрямой

Если же то состояние равновесия как мы уже указывали, будет неустойчивым узлом; в области (II) будут иметься две прямолинейные фазовые траектории, уводящие в бесконечность (рис. 351), и, следовательно, траектории, выходящие из

точек полупрямой уже не могут приходить на полупрямую а будут уходить в бесконечность. Ясно, что в этом случае на фазовой плоскости х, у не существует никаких предельных циклов и все фазовые траектории уходят в бесконечность, т. е. за пределы той области, в которой принятая математическая модель лампового генератора отображает свойства реального генератора.

Рис. 351.

2. Точечное преобразование.

Итак, рассмотрим случай Точечное преобразование полупрямой самой в себя (будем обозначать его через очевидно, может быть представлено в виде произведения двух преобразований: преобразования точек полупрямой 5 в точки полупрямой осуществляемое траекториями в области (I), и преобразования точек в точки полупрямой 5 (последнее осуществляется траекториями в области Найдем аналитические выражения для этих преобразований.

В области фазовые траектории определяются первым из дифференциальных уравнений (8.5). Его решение (для траектории, проходящей при через точку как известно, записывается в виде:

где

Следовательно, уравнением траектории, выходящей при из точки полупрямой где будет:

Изображающая точка, двигаясь по траектории (8.7), в некоторый момент времени придет на полупрямую в точке Тогда

Разрешив эти уравнения относительно мы получим функцию соответствия для преобразования записанную в параметрической форме:

где

(при изменении от до монотонно увеличивается от до Заметим, что выражение для получается из выражения для заменой на — Дифференцируя (8.8), получим:

Введем вспомогательную функцию

график которой (для фиксированного качественно изображен на рис. 352. Из свойств этой функции отметим следующие три:

3) при обращается в нуль при некотором (причем и больше нуля при

Тогда

Из выражений (8.8а) и свойств функции следует, что для получения всей совокупности значений в интервале параметр преобразования х, нужно изменять в интервале причем при изменении от до монотонно возрастают от до при при и положительны и непрерывны).

Рис. 352.

Для построения графика функции соответствия для преобразования функции, связывающей значения достаточно заметить следующее:

и монотонно возрастает от 1 при до при так как

при

2) при график функции соответствия (8.8) имеет прямолинейную асимптоту

где

3) в силу кривая (8.8) расположена над асимптотой (8.11). График функции соответствия (8.8) изображен на рис. 353 (сплошной линией для рассмотренного случая

В случае решение уравнения (8.5) в области получается из (8.7) заменой тригонометрических функций на соответствующие гиперболические и на нетрудно видеть, что и функция соответствия для преобразования в этом случае может быть получена из (8.8) тем же путем. Таким образом, в случае

где

(при изменении от 1 до монотонно уменьшается от до 1). Нетрудно также убедиться, что при изменении от монотонно растет от до от до

и что график функции соответствия (8.11) имеет вид кривой, изображенной на рис. 353 пунктирной линией.

Рис. 353.

Перейдем теперь к точечному преобразованию преобразованию точек полупрямой в точки полупрямой 5, осуществляемому траекториями в области (II), ограничиваясь случаем

Пусть при изображающая точка, двигаясь по соответствующей траектории в области (II), пришла в точку полупрямой выйдя ранее в некоторый момент времени из точки полупрямой Поскольку решение уравнения (8.5) в области (II), очевидно, получается из решения в области (I) заменой на на уравнение интересующей нас траектории при и для получится из (8.7), если заменить там на на и на

Той же заменой мы получим из (8.8) функцию соответствия для преобразования — функцию, связывающую между собой значения через параметр (приведенное время пробега изображающей точки в области конечно, больше нуля). Таким образом, функция соответствия для преобразования имеет следующий вид:

где

Очевидно,

Параметр преобразования нужно изменять в таком интервале наименьших положительных величин, чтобы получить всю совокупность значений Из свойств функции (рис. 352) и выражений (8.13а) следует, что таким интервалом будет , где — наименьший положительный корень уравнения или

(очевидно, Нетрудно убедиться в следующих свойствах функции соответствия (8.13): 1) при уменьшении от до монотонно возрастает от до от некоторого значения также до (для доказательства достаточно заменить в на на и на и учесть, что

следовательно, при возрастании монотонно растет от при (при (при при кривая (8.15) имеет прямолинейную асимптоту

График функции последования (8.13) для точечного преобразования изображен на рис. 354.

Рис. 354.

Рис. 355.

Рис. 356.

3. Неподвижная точка и ее устойчивость.

Для определения неподвижных точек преобразования полупрямой 5 самой в себя нанесем на одной диаграмме (на диаграмме Ламерея) графики функции соответствия для преобразований и кривые (8.8) и (8.13) (рис. 355, 356 и 357). При (рис. 355) кривые имеют нечетное число точек пересечения, так как эти кривые непрерывны и при но при (поскольку асимптота (8.14) идет более полого, чем асимптота (8.11)). Нетрудно показать, что рассматриваемом случае существует только одна точка пересечения кривых следовательно, только одна неподвижная точка преобразования и только один предельный цикл на фазовой плоскости.

В самом деле, для неподвижной точки преобразования II (величины, относящиеся к ней, мы будем отмечать чертой сверху) согласно (8.8а) и (8.13а) имеем:

и

или согласно (8.15)

Допустим, что кривые имеют несколько точек пересечения. Тогда для первой из них (с наименьшим поскольку при малых обязательно будет иметь место неравенство

а для второй, следующей —

Рис. 357.

Последнее невозможно, так как большему соответствует большее и меньшее и следовательно, если бы вторая точка пересечения существовала, для нее согласно (8.16) выполнялось бы неравенство

Таким образом, существует только одна точка пересечения кривых одна неподвижная точка точечного преобразования причем для этой точки

Следовательно, при на фазовой плоскости имеется единственный предельный цикл и притом устойчивый. К этому предельному циклу асимптотически приближаются при все фазовые траектории (рис. 358).

Тот же результат нетрудно получить и для случая (рис. 356): и в этом случае существует единственный устойчивый предельный цикл, к которому асимптотически (при приближаются все остальные траектории.

Рис. 358.

Рис. 359.

Если же кривые не пересекаются (рис. 357). В самом деле, если бы в этом случае существовали точки пересечения (их было бы четное число), то для первой из них (с наименьшим необходимо должно быть

что невозможно в силу (8.16), так как и при Итак, при преобразование полупрямой самой в себя не имеет неподвижных точек, и следовательно, на фазовой плоскости не существует никаких предельных циклов, причем, как нетрудно убедиться, все фазовые траектории уходят в бесконечно удаленные области фазовой плоскости (рис. 359).

Ламповый генератор при сделанных предположениях имеет два существенных параметра и мы можем рассмотреть разбиение плоскости этих параметров на области различного качественного поведения рассматриваемой нами системы. На рис. 360 дано такое

Рис. 360.

разбиение первого квадранта плоскости параметров на область существования предельного цикла (единственного и устойчивого) и на область «абсолютной неустойчивости». Точкам последней области соответствуют такие значения параметров, при которых все фазовые траектории уходят в бесконечность. Очевидно, в этом случае или при развитая здесь теория не передает правильно свойств ламповых генераторов, ибо она была построена при пренебрежении сеточными токами и анодной реакцией, которые играют принципиальную роль при больших амплитудах колебаний.

4. Предельный цикл.

Итак, при выполнении условий

на фазовой плоскости существует единственный предельный цикл, к которому при асимптотически приближаются все остальные фазовые траектории, что соответствует установлению автоколебательного режима при произвольных начальных условиях. При неподвижная точка точечного преобразования следовательно, предельный цикл однозначно (единственным образом) определяется системой уравнений (8.15):

причем

Если эта система двух трансцендентных уравнений решена (а в этом и состоит основная вычислительная трудность рассматриваемой задачи), то не представит особого труда вычислить величины, характеризующие автоколебательный режим. Например, период автоколебаний будет равен

в единицах безразмерного времени и

в обычных единицах.

Решение системы уравнений (8.15а) может быть проведено при помощи методов численного счета, изложение которых выходит за рамки настоящей книги. Поэтому мы ограничимся приближенным

вычислением периода и амплитуды автоколебаний для наиболее интересного, с точки зрения практических приложений, случая достаточно малых значений параметров для случая генератора с колебательным контуром высокой добротности и слабой обратной связью).

Обозначим через предельные значения величин при Для вычисления этих предельных значений приведем уравнения (8.15а) к виду:

и подставим в них приближенные соотношения, справедливые для

Рис. 361.

Тогда уравнения (8.156) дают:

откуда получаем: т. е. и

Как нетрудно убедиться, уравнение (8.18) имеет при (т. е. единственное решение (графическое решение этого уравнения приведено на рис. 361). Так как при

период автоколебаний, очевидно, равен совпадает с периодом собственных колебаний колебательного контура генератора.

Рис. 362.

Рис. 363.

Для амплитуды автоколебаний, поскольку при малых и предельный цикл близок к окружности, имеем (рис. 362):

Зависимость амплитуды автоколебаний А от параметров генератора, очевидно, выражается в параметрической форме соотношениями (8.18) и (8.19). На рис. 363 приведен график зависимости амплитуды А от отношения При следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление