Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Ламповый генератор со смещенной f-характеристикой

В предыдущих двух параграфах мы рассмотрели примеры ламповых генераторов с мягким режимом возбуждения. Рассмотрим теперь жесткий режим возбуждения автоколебаний на примере лампового генератора с колебательным контуром в цепи анода и с так называемой смещенной -характеристикой лампы. Именно, мы будем аппроксимировать характеристику лампы (так же как и в § 4 гл. III) -характеристикой:

но будем считать, что в состоянии равновесия схемы лампа заперта некоторым отрицательным смещением (рис. 369).

Рис. 369.

1. Уравнение колебаний. Фазовая плоскость.

Уравнение колебаний рассматриваемой схемы лампового генератора (при обычных упрощающих предположениях; см., например, § 4 гл. III), как известно (см. (3.15)), записывается в виде:

где

Ниже мы будем полагать, что ибо, как можно показать, только в этом случае генератор может совершать автоколебания.

Заменой переменных

где мы приведем уравнение колебаний генератора к виду

где затухание колебательного контура и

Фазовая плоскость разбивается горизонтальной прямой на две области линейности: (I), где и где (рис. 370). В каждой из этих областей имеет место свое линейное уравнение. Вдоль прямой происходит соединение фазовых траекторий в областях (I) и (II) (по закону непрерывности). Выделим на этой прямой полупрямые где . От первой из них (при фазовые траектории отходят (при возрастающем в область от второй (при ) — в область (II). От отрезка принадлежащего обеим полупрямым, траектории отходят как в область (I) (при так и в область (II) (при ). Этот отрезок мы будем называть ниже «отрезком отталкивания».

Рис. 370.

Рассматриваемая динамическая система (8.26) имеет единственное (и притом устойчивое) состояние равновесия — начало координат которое является фокусом при и узлом при Нетрудно видеть, что в последнем случае система не может иметь предельных циклов, и следовательно, все траектории будут стремиться (при к устойчивому узлу, т. е. генератор не будет совершать никаких автоколебаний. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь случая

2. Точечное преобразование.

Предельные циклы, если они существуют, должны охватывать начало координат (единственное состояние равновесия) и, с другой стороны, не могут лежать целиком в области (I) (или в области Следовательно, они обязательно будут пересекать прямую в частности, выделенную нами полупрямую 5. Поэтому для отыскания предельных циклов уравнения (8.26) нам достаточно рассмотреть точечное преобразование полупрямой самой в себя, осуществляемое траекториями этого уравнения (с функцией последования рис. 370). Обозначим это преобразование через Назовем также преобразованием переход изображающей точки из точки полупрямой 5 по соответствующей траектории в области в точку полупрямой и преобразованием переход из точки по траектории в области (II) обратно на полупрямую точку рис. 370). Тогда, очевидно, «полное» преобразование

Нетрудно получить параметрические выражения для функций соответствия преобразований Рассмотрим с этой целью траекторию, выходящую при в область (I) из некоторой точки полупрямой 5. Ее уравнением согласно (8.26) будет

где

Изображающая точка, двигаясь по этой траектории, обязательно (через некоторый интервал времени 11) придет на полупрямую в точку Для последней, очевидно, имеем:

Разрешая эти соотношения относительно получим функцию соответствия для преобразования

где

приведенное время пробега изображающей точки в области (I). Если ввести

то функция соответствия для преобразования запишется в еще более простой форме:

где

Аналогичным путем найдем функцию соответствия для преобразования точек полупрямой в точки полупрямой

приведенное время пробега изображающей точки по траектории в области (II).

Исследование функции соответствия (8.27) полностью аналогично исследованию функции (8.8) (см. § 2). Нетрудно видеть, что параметр преобразования меняется в интервале причем при изменении от до и монотонно возрастает от до от ? также до (начальные точки кривых (8.27) при различных значениях параметра а лежат, очевидно, на прямой и Далее,

и

при т. е. при изменении от до монотонно возрастает от до Наконец, кривая (8.27) имеет асимптоту На рис. 371 изображено семейство кривых (8.27) для некоторого фиксированного значения и при различных значениях параметра а (кривая (8.27) для а получается из кривой для смещением ее вправо и вниз на а):

Рис. 371.

Переходя к исследованию функции соответствия (8.28), следует сразу же отметить, что изображающая точка, двигаясь по траектории (по спирали) в области (II), что соответствует преобразованию полупрямой в полупрямую 5, совершает более половины, но менее целого оборота вокруг устойчивого фокуса (радиус-вектор изображающей точки поворачивается на угол, больший но меньший причем этот угол тем меньше, чем больше размеры соответствующей траектории, чем больше Поэтому (см. § 4 гл. I) параметр преобразования заведомо будет заключен в интервале причем убывающим значениям соответствуют монотонно возрастающие значения Однако не все точки полупрямой преобразуются траекториями в области в точки полупрямой Если мы проведем в области фазовую траекторию проходящую через точку то она выделит такую область (на рис. 370 эта область заштрихована), что траектории, попавшие в нее, уже не могут придти на прямую а будут накручиваться на устойчивый фокус. Обозначим через абсциссу точки пересечения траектории с полупрямой (рис. 370); тогда, очевидно, точки полупрямой для которых уже не преобразуются траекториями в области (II) в точки полупрямой Приведенное время пробега для точки определяется уравнением

или же, наконец,

Ясно, что (графическое решение этого уравнения приведено на рис. 372).

Таким образом, изменяя параметр преобразования от до мы переберем все множество точек полупрямой связанных преобразованием с точками полупрямой

Рис. 372.

Рис. 373.

При этом при уменьшении от до их монотонно возрастает от до также до

и монотонно убывает от до поскольку при

При кривая (8.28) имеет асимптоту График функции соответствия (8.28) преобразования приведен на рис. 373.

3. Неподвижные точки и предельные циклы.

Для отыскания неподвижных точек преобразования (а следовательно, и предельных циклов), а также для исследования их устойчивости построим на одной плоскости графики функций соответствия (8.27) и (8.28) (по одной оси будем откладывать и по другой и рассмотрим полученные диаграммы Ламерея (рис. 374) при некотором фиксированном и различных значениях параметра .

При кривая (8.27) заведомо не пересекается с кривой (8.28). Далее, кривая (8.28) от параметра а не зависит, в то время как кривая (8.27) при увеличении а смещается вправо и притом сколь угодно далеко. Поэтому при возрастании параметра а будут последовательно осуществляться случаи изображенные на рис. 374.

Рис. 374.

Точки пересечения кривых (8.27) и (8.28) (обозначим их координаты через и значения для них через очевидно, определяют неподвижные точки преобразования тем самым, предельные циклы рассматриваемой нами динамической системы на ее фазовой плоскости. Аналитически неподвижные точки определяются следующей системой уравнений:

которая получается из параметрических выражений функций соответствия (8.27) и (8.28), если приравнять в них и положить

Если имеются две неподвижные точки (см. случай (в) на рис. 374), то для первой из них (с меньшими и большим

и для второй

т. е. первая из них является неустойчивой, а вторая — устойчивой. Если же имеется только одна неподвижная точка преобразования (случай на рис. 374), то она всегда устойчива, так как для нее выполнено условие устойчивости:

Различные возможные типы разбиения на траектории фазовой плоскости лампового генератора со смещенной -характеристикой, соответствующие случаям диаграммы Ламерея (рис. 374), изображены на рис. 375—379.

Рис. 375,

Рис. 376.

На рис. 380 изображена плоскость параметров генератора разбитая на области существования указанных выше режимов генератора. Если в генераторе имеет место небольшая обратная связь — такая, что точка лежит в незаштрихованной области плоскости параметров (рис. 380), соответствующей случаю диаграммы Ламерея, то фазовые траектории идут к устойчивому состоянию равновесия (0,0), которое, следовательно,

устанавливается при любых начальных условиях (рис. 375). При некоторой критической связи на фазовой плоскости появляется полу устойчивый предельный цикл (рис. 376), который соответствует точке касания кривых на диаграмме Ламерея в случае рис. 374.

Рис. 377.

Рис. 378.

Этот предельный цикл при сколь угодно малом увеличении обратной связи (при сколь угодно малом увеличении параметра а) распадается на два предельных цикла, один из которых устойчив, а другой неустойчив (рис. 377). При дальнейшем увеличении параметра а размеры неустойчивого предельного цикла уменьшаются, и при некотором втором бифуркационном значении этого параметра соответствующем кривой на рис. 380 и случаю диаграммы Ламерея, неустойчивый предельный цикл попадает на отрезок отталкивания (рис. 378). Наконец, на рис. 379 приведено разбиение фазовой плоскости на траектории для когда точка лежит

Рис. 379.

в области рис. 380 и точечное преобразование имеет един ственную неподвижную точку (случай (5) диаграммы Ламерея).

Таким образом, при генератор не может совершать никаких автоколебаний, а при а соответствующих заштрихованной области на рис. 380, в генераторе имеет место жесткий режим возбуждения автоколебаний: в генераторе устанавливается периодический (автоколебательный) режим только при тех начальных условиях, которые соответствуют изображающим точкам вне неустойчивого предельного цикла (рис. 377) или вне области, заштрихованной на рис. 379.

Рис. 380.

Период устойчивых автоколебаний, очевидно, равен

где и определяются решением системы

Пограничная кривая на плоскости параметров генератора, отделяющая область невозбуждаемого генератора, (область от области жесткого режима возбуждения (остальная часть первого квадранта), очевидно, определяется уравнениями (8.29) и условием, что при кривые (8.27) и (8.28) касаются друг друга, т. е.

или

Можно показать, что эта пограничная кривая (кривая (б) на рис. 380) проходит через начало координат плоскости параметров и что монотонно возрастает при увеличении

4. Случай малых ...

Найдем приближенные выражения для периода и амплитуды автоколебаний в случае достаточно малых Запишем уравнения (8.29) в виде:

Тогда для случая имеем:

откуда (следовательно, период автоколебаний равен приближенно определяется уравнением

которое имеет действительные решения (и притом два: только при 1; отсюда

Радиусы предельных циклов (они близки к окружностям), как нетрудно подсчитать, равны:

причем устойчивому предельному циклу соответствует большее из двух решений для и знак в выражении для радиуса предельного цикла.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление