Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Ламповый генератор с двухзвенной RC-цепочкой

Две схемы генератора с двухзвенной RС-цепочкой (с двойным триодом с катодным сопротивлением и с пентодом в транзитронном режиме) изображены на рис. 381). Исследование автоколебаний в них методом изоклин было проведено в § 12 гл. V. Эти же схемы, если считать емкости малыми, паразитными емкостями, являются схемами мультивибратора с одной RС-цепью (см. § 7 гл. IV).

Для работы обеих схем в качестве генераторов существенно, что характеристика, выражающая зависимость силы тока от напряжения и на управляющем электроде лампы (или ламповой группы), имеет падающий участок.

Рис. 381,

Ниже, как и раньше, мы будем пренебрегать анодной реакцией, т. е. будем считать, что зависит только от и но в отличие от § 12 гл. V, чтобы иметь возможность применить метод точечных преобразований для исследования гбнератора, мы будем аппроксимировать эту зависимость кусочно-линейной функцией, график которой приведен на рис. 382. При этом ради дальнейшего упрощения задачи мы будем полагать сеточное смещение выбранным таким образом, чтобы рабочая точка лампы, соответствующая состоянию равновесия генератора, лежала посередине падающего участка характеристики [59].

Рис. 382.

Уравнение колебаний рассматриваемого генератора с двухзвенной RС-цепочкой, как мы видели в § 12 гл. V, можно записать в следующем виде:

где х, у — переменные, связанные с напряжениями соотношениями:

(за взята половина «длины» падающего участка характеристики; см. рис. 382);

— приведенная (безразмерная) характеристика лампы (или ламповой группы); точкой сверху обозначено дифференцирование по безразмерному времени

и

— безразмерные параметры

Заметим, что система уравнений (8.30) эквивалентна уравнению

т. е. ламповый генератор с двухзвенной RС-цепочкой при кусочнолинейной аппроксимации характеристики ламповой группы эквивалентен динамической системе, уже рассмотренной в § 3 настоящей главы. Однако, имея в виду подробное рассмотрение колебаний генератора, близких к разрывным (они имеют место при т. е. при мы проведем еще раз краткое исследование этой динамической системы, отправляясь теперь от уравнений (8.30), форма которых более удобна для указанной цели, и ограничиваясь случаем самовозбуждающегося генератора, т. е. полагая, что

1. Фазовая плоскость. Точечное преобразование.

Так же как и в § 3 настоящей главы, фазовая плоскость рассматриваемой динамической системы (8.30) разбивается прямыми на три области: (I), (II) и (III), в каждой из которых уравнения (8.30) линейны (рис. 383); при этом траектории являются непрерывными кривыми при переходе через эти границы областей линейности, равно как и на всей фазовой плоскости. Кроме того, разбиение плоскости х, у

на траектории симметрично относительно начала координат — состояния равновесия (0,0) в силу соответствующей симметрии уравнений (8.30).

Качественное исследование системы (8.30) полностью аналогично исследованию системы (5.89), проведенному в § 12 гл. V.

Рис. 383.

Именно, ось ординат является изоклиной горизонтальных касательных (там у = 0), а ломаная

— изоклиной вертикальных касательных (на ней х = 0). В областях (II) и (III) имеются по две прямолинейных траектории где а — величины, обратные (и по знаку, и по модулю) корням уравнения

являющегося характеристическим уравнением системы (8.30) в областях (II) и (III); поэтому и положительны.

Единственное состояние равновесия лежит в области в начале координат (0,0). Поскольку в области (I) характеристическое уравнение системы (8.30) записывается в виде:

это состояние равновесия при неустойчиво, являясь при фокусом и при узлом.

Далее, так как бесконечность всегда неустойчива, то на фазовой плоскости при имеется по крайней, мере один (и притом устойчивый) предельный цикл, симметричный относительно начала координат. На основании результатов § 3 настоящей главы можно утверждать, что этот предельный цикл — единственный.

Для отыскания этого предельного цикла сведем задачу к точечному преобразованию. Так как предельный цикл является симметричным, должен охватывать состояние равновесия и в то же время не может лежать целиком в области (I), то он должен проходить во всех трех областях линейности, пересекая, в частности, прямые Исходя из этого, возьмем в качестве «отрезка без контакта» полупрямую через точки которой происходит переход фазовых траекторий из области (III) в область (I), и найдем точечное преобразование этой полупрямой самой в себя, осуществляемое траекториями системы (8.30). Так же как и в § 3, преобразование

где точечное преобразование полупрямой в симметричную ей полупрямую осуществляемое траекториями системы (8.30), выходящими из точек полупрямой В свою очередь преобразование представляется в виде произведения двух преобразований преобразований полупрямой в полупрямую и полупрямой в полупрямую осуществляемых траекториями соответственно в областях (1) и (II), т. е.

Нетрудно получить (тем же способом, что и в предыдущих параграфах) параметрические выражения для функций соответствия этих преобразований.

Для вычисления функции соответствия первого преобразования следует обратиться к дифференциальным уравнениям (8.30) в области (I), которые удобно переписать в следующем виде:

Характеристическое уравнение этой системы (уравнение имеет при комплексные корни и при действительные (положительные) корни

Пусть Тогда общее решение уравнений (8.30а) записывается следующим образом:

— координаты начальной точки при см. § 4 гл. I). Для траектории L, выходящей (будем считать, при из точки полупрямой в (8.33) следует положить: Пусть время пробега изображающей точки по траектории L в области (I) (от полупрямой 5 до полупрямой Тогда при т. е.

где

Разрешая второе из полученных соотношений относительно а затем первое — относительно получим функцию соответствия преобразования связывающую в следующем параметрическом виде:

так как

Аналогично при когда корни характеристического уравнения (8.32) действительные и общее решение уравнений (8.30а) получается из (8.33) заменой тригонометрических функций на соответствующие гиперболические, мы получим для функции соответствия преобразования

(значения и по-прежнему даются выражением (8.34), но теперь

В области (II) уравнения (8.30) могут быть записаны в виде:

Характеристическое уравнение (8.31) для этой системы всегда напомним, что имеет действительные отрицательные корни где

(причем Следовательно, общее решение уравнений (8.306) может быть записано в виде:

Пусть при а при время пробега изображающей точки по траектории L в области (II) от точки до точки Тогда второе соотношение (8.37) дает:

где

Разрешая полученное уравнение относительно используя соотношение и затем заменяя в полученном выражении для на и на мы получим функцию соответствия для преобразования

2. Исследование функций соответствия.

Исследование функций соответствия преобразований и мы начнем с функции соответствия преобразования для случая когда состояние равновесия является неустойчивым фокусом, траектории в области спиралями, раскручивающимися от фокуса, а сама функция соответствия выражается соотношениями (8.35). Так как изображающая точка, двигаясь от точки до точки по дуге спиральной траектории в области (I), совершает менее половины оборота вокруг фокуса то параметр преобразования — прибеденное время пробега изображающей точки в области заведомо удовлетворяет неравенству причем меньшим соответствуют большие Обозначим значение соответствующее через это пограничное значение параметра очевидно, определяется уравнением

где

(график этой функции и графическое решение уравнения для приведены на рис. Тогда, изменяя от до 0, мы переберем все множество значений от до одновременно будет также монотонно возрастать от некоторого положительного значения

также до

Рис. 384.

Дифференцируя (8.35), получим:

и

Так как при то в этом интервале изменения более того, изменяется монотонно от до (при уменьшении от до или при увеличении от до поскольку

Заметим, что

и при т. е. кривая (8.35) имеет асимптоту

Этих сведений достаточно для построения графика функции соответствия (8.35); он приведен на рис. 385.

Аналогично, при когда функция соответствия преобразования записывается в виде (8.36), параметр

преобразования также заключен в интервале где значение параметра для точки определяется теперь уравнением

(график функции для приведен на рис. 386).

Рис. 385.

Рис. 386.

При эток: при уменьшении от до О (так же как и в предыдущем случае) монотонно возрастает от О до от некоторого положительного значения

также до производная — 1 монотонно убывает от до так как

при Таким образом, график функции соответствия (8.36) имеет тот же вид, что и график функции соответствия (8.35) (рис. 385).

Перейдем к рассмотрению функции соответствия преобразования функции (8.39). Здесь, для того чтобы перебрать все множество точек полупрямой мы должны изменять параметр преобразования от до причем (в отличие от только что рассмотренной функции соответствия преобразования при изменении от до монотонно возрастает от до от до

Для доказательства монотонности возрастания увеличении от до достаточно вычислить производные и Нетрудно видеть, что

и

где

Так как и то при любых

(при изменении от до или от до монотонно убывает от 1 до

Рис. 387.

На рис. 387 изображен график рассмотренной нами функции соответствия преобразования

3. Диаграмма Ламерея.

На рис. 388 построена диаграмма Ламерея — графики функций соответствия преобразований

нанесенные на общей плоскости (по оси абсцисс отложено по оси ординат Эти графики имеют единственную точку пересечения — неподвижную точку преобразования Существование неподвижной точки вытекает из непрерывности функций соответствия и выполнения неравенств: при при достаточно больших единственность — из неравенств место при любых в частности, в неподвижной точке, которая, следовательно, является устойчивой. Аналитически неподвижная точка преобразования определяется системой трансцендентных уравнений:

при и системой

при

Рис. 388.

Итак, точечное преобразование полупрямой 5 в полупрямую имеет единственную и притом устойчивую неподвижную точку Соответственно, на фазовой плоскости имеется единственный (симметричный и устойчивый) предельный цикл, к которому стремятся при все фазовые траектории (рис. 389), - в схеме при и при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания.

Период автоколебаний, очевидно, равен

(в единицах безразмерного времени) и

(в обычных единицах), где -значения соответствующие неподвижной точке и определяемые однозначно системой уравнений (8.40) при и системой (8.40а) при

Рис. 389.

Отметим сразу же один предельный случай. Если (но то предельный цикл стремится к окружности так как а автоколебания близки к синусоидальны с периодом

4. Разрывные колебания.

Рассмотрим теперь другой, весьма интересный предельный случай

— случай мультивибратора с одной RС-цепью (малые, паразитные емкости когда автоколебания в схеме носят разрывный характер. Разрывные колебания, как мы увидим в гл. X, отображаются дифференциальными уравнениями с малыми коэффициентами при

старших производных, и система (8.30) при малом является примером (достаточно простым, но типичным) подобных динамических систем.

Для получения разбиения фазовой плоскости х, у на траектории системы (8.30) при достаточно малых выпишем уравнение интегральных кривых

и построим на плоскости х, у изоклину вертикальных касательных — кривую

Из уравнений (8.30) и (8.41) следует, что при достаточно малых быстро возрастает, быстро убывает при удалении от изоклины в точках на расстояниях порядка от нее а уже на расстояниях порядка т. е. а при Следовательно, при достаточно малых фазовые траектории вне -окрестности кривой сколь угодно близки к горизонтальным прямым там при по крайней мере, как и изображающая точка двигается по ним сколь угодно быстро как или быстрее). При этом изображающая точка двигается вправо в точках, лежащих под изоклиной и влево — над ней (рис. 390). Эти траектории сколь угодно быстрых, скачкообразных движений системы (в пределе мгновенных скачков) идут из бесконечности и от отрезка изоклины к полупрямым являющимся частями изоклины лежащими в областях (II)

и . В -окрестностях полупрямых остается ограниченной величиной при в этих окрестностях лежат траектории «медленных» движений системы (движений с фазовыми скоростями, остающимися ограниченными при

Рис. 390.

Медленное движение изображающей точки переходит в сколь угодно быстрое, скачкообразное в -окрестностях точек

Таким образом, движение изображающей точки системы (8.30) при достаточно малых будет слагаться из чередующихся сколь угодно быстрых, скачкообразных движений по траекториям, сколь угодно близким к горизонтальным прямым и «медленных» движений по траекториям, лежащим в -окрестностях полупрямых На рис. 390 изображено предельное (при разбиение фазовой плоскости на траектории: траектории скачкообразных движений (мгновенных скачков) изображены прямыми траектории «медленных» движений — полупрямыми и Предельным циклом будет замкнутая кривая

Докажем теперь строго, что кривая действительно является предельным положением предельного цикла системы (8.30) при Доказательство проведем путем построения на фазовой плоскости такой области которая содержала бы внутри себя (или на своей границе) кривую стягивалась к последней при и из которой фазовые траектории не могли бы выходить (при возрастании

Рис. 391.

С этой целью построим на фазовой плоскости (рис. 391) изоклины (ось у), (кривую F, см. рис. 390), изоклины и

а также замкнутые кривые симметричные относительно начала координат и составленные из отрезков прямых следующим образом.

Построение первого контура (контура ) начнем с точки являющейся точкой пересечения изоклины с прямой Отрезок имеет угловой коэффициент, равный и соединяет точки и Далее проводим горизонтальный отрезок до пересечения с изоклиной затем вертикальный отрезок до пересечения с прямолинейной траекторией системы (8.30) в области (II):

представляет собой отрезок этой траектории и, наконец, отрезок прямой причем точка симметрична точке и расположена ниже точки Вторая половина контура симметрична только что построенной ломаной.

Половина контура состоит из отрезка горизонтальной прямой (точка лежит на оси ординат), отрезка с угловым коэффициентом, равным (точка лежит на изоклине вертикального отрезка проведенного до пересечения с изоклиной и из отрезка изоклины вторая половина контура (ломаная симметрична первой.

Покажем, что область заключенная между контурами (на рис. 391 она заштрихована), удовлетворяет всем поставленным выше требованиям. Эта область, во-первых, содержит внутри себя (или на своей границе) кривую и стягивается к ней при так как наибольшие расстояния кривых (границ области от кривой не превышают соответственно следовательно, стремятся к нулю при Во-вторых, фазовые траектории не могут выйти из области (при

возрастающем ибо на ее границах траектории либо касаются границ, либо пересекают их, входя в область

Для доказательства последнего утверждения достаточно рассмотреть ход траекторий системы (8.30) на ломаных На отрезке , лежащем между изоклинами над изоклиной там траектории имеют меньший наклон, чем сам отрезок, изображающие точки двигаются влево и, следовательно, входят в область (исключение составляет точка в которой траектория касается отрезка На отрезке (траектории идут вниз), на ибо они расположены под кривой (траектории идут вправо). Отрезок сам является траекторией и поэтому может пересекаться другими траекториями. Таким образом, траектории системы (8.30) на половине контура либо касаются этого контура, либо пересекают его, входя в область То же самое (в силу симметрии траекторий) можно сказать и относительно хода траекторий на второй половине контура

Аналогично на на отрезке заключенном между изоклинами на и на но Отсюда следует, что траектории только входят в область и через ее внутреннюю границу (мы доказали это для одной половины контура но в силу симметрии траекторий это утверждение справедливо также и для другой половины контура

Итак, фазовые траектории системы (8.39) на границах области на контурах либо касаются, либо пересекают их, входя в область Так как эта область не содержит состояний равновесия, то согласно известной теореме качественной теории дифференциальных уравнений второго порядка (см. теорему V § 2 гл. VI) в ней существует устойчивый предельный цикл. Тем самым мы показали, что единственный и устойчивый предельный цикл системы (8.30) находится в построенной нами области следовательно, стремится к при

5. Период автоколебаний при малых «мю»

Асимптотическая формула для периода разрывных автоколебаний

найденная ранее (см., например, § 7 гл. IV), оказывается, дает довольно значительные погрешности для периода автоколебаний

мультивибратора, если параметр не очень мал. Например, при когда автоколебания весьма близки к разрывным, погрешность формулы (8.43) составляет около 20%. В связи с этим представляется целесообразным провести вычисление асимптотического выражения для периода автоколебаний мультивибратора при малых исходя не из предельной структуры разбиения фазовой плоскости на траектории (рис. 390), а из функций соответствия (8.36), (8.39) для преобразований и и уравнений (8.40а), точно определяющих неподвижную точку преобразования и предельный цикл при малых

Форма записи функций соответствия (8.36) и (8.39), а также уравнений (8.40а) несколько неудобна для этой цели. Перейдём поэтому в (8.36) и (8.39) от непосредственно к

— временам пробега изображающей точки в областях и (II).

Обозначим корни характеристического уравнения (8.32) (для области (I)) через и

а абсолютные значения корней характеристического уравнения (8.31) (для области через и :

Подставим в выражение (8.36) для и умножим числитель и знаменатель этого выражения на

Заметив, что мы получим следующие параметрические выражения для функции соответствия преобразования

(s получается из выражения для сменой знака и заменой на см. примечание на стр. 544). Тем же путем, заменяя в на и пользуясь соотношениями:

получим для преобразования

Из этих выражений для функций соответствия преобразований и Па уже нетрудно получить асимптотические разложения функций соответствия, а также периода автоколебаний для малых пользуясь различием в порядке величины корней т. е. тем, что

Ясно, что при движении изображающей точки по какой-либо траектории, пересекающей полупрямую (например, по предельному циклу), время ее пробега в области при а в области стремится к конечному пределу ). Но тогда т. е. стремится к нулю

быстрее любой степени Поэтому (с точностью до членов порядка функция соответствия преобразования может быть записана в виде:

С той же степенью точности для предельного цикла

Подставив (8.466) в первое соотношение (8.45), мы получим уравнение, определяющее время пробега изображающей точки по предельному циклу в области (I):

Это уравнение можно решить методом последовательных приближений, используя различие в порядках величины корней и Оценим сначала порядок величины так как при то для выполнения уравнения (8.47) должно быть величиной порядка т. е. Подставим в (8.47):

откуда

и, так как

Найдем теперь, пользуясь вторым соотношением (8.45), асимптотическое выражение для (для координаты точки пересечения предельного цикла с полупрямой с тем чтобы затем на основании (8.46а) найти и период автоколебаний. Согласно (8.48) имеем:

и

Поэтому в силу второго уравнения (8.45), которое мы перепишем в виде:

(см. скан)

и, наконец,

Суммируя с (8.48), мы получим следующее асимптотическое выражение для периода автоколебаний мультивибратора (для периода периодического решения системы (8.39) при малых

Старший член в этом асимптотическом разложении, как и следовало ожидать, совпадает с предельным (при выражением (8.43) для периода мультивибратора.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление