Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Двухпозиционный авторулевой

В этом параграфе мы рассмотрим динамику судна, снабженного простейшей, так называемой двухпозиционной системой стабилизации курса — двухпозиционным авторулевым.

1. Постановка задачи.

Пусть отклонение судна от заданного курса (рис. 392). Составим упрощенное уравнение вращения судна вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести, пренебрегая боковым сносом судна при разворотах и учитывая как момент сил создаваемый рулем, так и момент сил сопротивления коэффициент вязкого трения). Если момент инерции судна относительно его вертикальной главной оси, то уравнение вращения судна имеет вид:

Само по себе судно не обладает устойчивостью на курсе. В самом деле, при М=0 (руль находится в диаметральной плоскости, т. е. в

плоскости симметрии судна, судно будет приходить к некоторому постоянному курсу но последний будет зависеть от начальных условий и может быть любым. Для иллюстрации сказанного на рис. 393 приведена фазовая поверхность (развертка фазового цилиндра) судна с рулем в диаметральной плоскости: фазовые траектории составляют семейство прямых, по которым изображающая точка приближается (при к состояниям равновесия, заполняющим всю ось

Устойчивость на заданном курсе может быть придана судну только рулевым, только соответствующими перемещениями руля.

Рис. 392.

Рис. 393.

На языке разбиения фазовой поверхности на траектории задачей рулевого (безразлично, человека или системы автоматической стабилизации курса — авторулевого) является создание вместо континуума равновесных состояний одного устойчивого состояния равновесия, соответствующего заданному курсу

Одной из простейших систем автоматической стабилизации курса является так называемый двухпозиционный авторулевой, при котором руль может занимать, как правило, два положения создавая в каждом из них моменты сил равные по величине но противоположно направленные. При этом, не входя в рассмотрение динамики собственно авторулевого, мы будем считать положение руля зависящим по определенному закону от состояния судна является функцией и Простейшее двухпозиционное регулирование курса мы будем иметь тогда, когда перекладка руля с одного борта на другой совершается авторулевым при прохождении судном заданного курса (положения При этом мы примем, что перекладка руля совершается мгновенно. Как мы увидим дальше, такое автоматическое устройство при выполнении

некоторых требований действительно стабилизирует курс судна. Однако естественно думать, хотя бы исходя из опыта управления рулем обычной лодки, что стабилизирующее действие устройства было бы более эффективным, если бы перекладка руля совершалась не при прохождении судна через заданный курс, а несколько раньше, когда отклонение от курса уменьшается, но еще не прошло через нуль. Такое «предварение» перестановки руля обычно осуществляется на практике двумя способами: либо при помощи так называемой коррекции по скорости, либо путем введения так называемой жесткой обратной связиг).

В случае коррекции по скорости применительно к рассматриваемому простейшему двухпозиционному авторулевому перестановка руля происходит не при прохождении судном заданного курса (при а при обращении в нуль некоторой линейной комбинации отклонения от курса и скорости изменения этого отклонения:

(нетрудно видеть, что при перестановка руля будет совершаться с опережением, т. е. до прохождения судном заданного курса).

Схема такого двухпозиционного авторулевого с коррекцией по скорости (с электрической рулевой машинкой) изображена на рис. 394; там же приведена блок-схема системы: «судно 4 авторулевой», отображающая основные элементы системы и связи между ними. Этот авторулевой имеет два датчика: датчиком отклонения от курса является гирокомпас, датчиком скорости отклонения курса — так называемый «демпфирующий гироскоп». Эти два датчика передвигают контактирующий «усик» и контактные пластины электрозолотника так, что в соответствии со знаком величины — электрозолотник через вспомогательные реле включает в нужную сторону рулевую машинку. Последняя быстро (мы будем считать, что мгновенно) перекладывает руль в одно из крайних положений,

определяемых концевыми выключателями (как только руль приходит в крайнее положение или соответствующий концевой выключатель размыкает цепь реле, рулевая машинка выключается, прекращая дальнейшую перекладку руля).

Рис. 394. (см. скан) Схема и блок-схема двухпозиционного авторулевого с коррекцией по скорости. 1 - судно; 2 — курсовой гироскоп (гирокомпас); 3 — демпфирующий гироскоп (датчик скорости); 4 — электрозолотник; 5 — реле; 6 — рулевая машинка; 7 — бортовая электрическая сеть; 8 — руль; 9 — концевые выключатели.

Очевидно, рулевая машинка должна быть включена так, чтобы перекладывать руль на левый борт при и на правый борт при Таким образом, при руль занимает одно из двух крайних положений (отсюда и название «двухпозиционный авторулевой»). Если же (электрозолотник находится в нейтральном положении), то рулевая машинка выключена,

и руль может занимать любое положение между крайними: (рис. 395).

Рис. 395,

Пренебрегая зазором между контактами электрозолотника и считая перекладку руля мгновенной, мы сможем приближенно записать уравнение двухпозиционного авторулевого с коррекцией по скорости в виде:

где

2. Фазовая плоскость. «Скользящий режим».

После этих предварительных замечаний перейдем к рассмотрению динамики судна, снабженного двухпозиционным авторулевым со скоростной коррекцией. Прежде всего упростим уравнения (8.51) и (8.52) системы «судно авторулевой», введя безразмерные переменные определяемые соотношениями:

где

Эти уравнения в новых переменных получат вид:

где

и где точкой сверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени ниже будет обозначаться через Далее, интересуясь только случаем малых отклонений судна от заданного курса (полагая, что заведомо меньше мы будем считать фазовую поверхность изучаемой динамической системы авторулевой) обычной плоскостью.

Обозначим и рассмотрим разбиение фазовой плоскости х, у на фазовые траектории. Эта фазовая плоскость делится «прямой переключений»

соответствующей нейтральному положению электрозолотника, на две области (I) и (II), в каждой из которых имеет место свое линейное уравнение движения:

в области и

в области Последние уравнения получаются из уравнений (8.55) заменой х, у на . Поэтому траектории в областях (I) и (II) симметричны друг другу по отношению к началу координат.

На самой «прямой переключений» движение изображающей точки осталось неопределенным, поскольку там уравнение авторулевого (второе уравнение не определяет однозначно правой части уравнения движения судна (при координата руля может принимать любые значения Поэтому для получения полной картины разбиения фазовой плоскости на траектории, для того чтобы каждое движение системы могло быть неограниченно прослеживаемо во времени, мы должны соответствующим образом доопределить уравнения движения рассматриваемой нами динамической системы для

Рассмотрим с этой целью ход фазовых траекторий вблизи прямой (8.54). Введем приведенную координату электрозолотника

и подсчитаем Для области (I):

Изоклиной (геометрическим местом, где траектории параллельны «прямой переключений»), очевидно, является горизонтальная прямая

Пусть В этом случае выше этой изоклины фазовые траектории удаляются от прямой (8.54), а ниже ее — приближаются к этой прямой. Симметричная картина имеет место в области (II). Таким образом, на «прямой переключений» (8.54) имеется отрезок

к которому фазовые траектории подходят с обеих сторон. Вне этого отрезка фазовые траектории подходят к прямой (8.54) с одной стороны и отходят с другой (рис. 396).

Рис. 396.

Та же картина получается и при (рис. 397). Теперь в области (I) траектории приближаются к прямой переключений если у и удаляются от нее если

Такой ход фазовых траекторий в окрестности «прямой переключений» — границы областей (I) и (II) - позволяет дать следующее доопределение движения изображающей точки на этой прямой (доопределение движения системы с электрозолотником в нейтральном положении):

1) если изображающая точка приходит на «прямую переключений» вне отрезка (8.56), то она пересекает ее, переходя из области (I) в область (II) или обратно;

Рис. 397.

2) если изображающая точка приходит на «прямую переключений» в пределах отрезка (8.56), то дальше она движется по этому отрезку.

Закон движения системы в последнем случае получается из уравнения «прямой переключений» (8.54), если положить там т. е. из уравнения

что

Это — так называемый скользящий режим двухпозиционного авторулевого [98]. При работе авторулевого в этом режиме электрозолотник находится в нейтральном положении и положение руля плавно изменяется от крайнего до нейтрального. Приведенная координата руля в этом случае, очевидно, изменяется следующим образом:

Для понимания механизма скользящего режима необходимо учесть дополнительно некоторые (вообще говоря, второстепенные) факторы: например, запаздывание в авторулевом или инерцию рулевой машинки, которые всегда имеются в реальных авторулевых и приводят к тому, что перекладка руля происходит фактически после прохода через нуль координаты электрозолотника Из-за наличия этих факторов скользящий режим состоит в частых (тем более частых, чем меньше запаздывание авторулевого или время перекладки руля рулевой

машинкой) переключениях электрозолотника, приводящих или к перемещению руля малыми порциями или к колебаниям руля со средним положением, близким к (8.57). Идеализация скользящего режима, получаемая при нашем упрощенном рассмотрении и выражаемая приведенным выше доопределением движения системы для должна рассматриваться как предельный случай, когда указанные выше дополнительные факторы (запаздывание, конечное время, необходимое для перекладки руля) стремятся к нулю.

При наличии скользящего режима отклонение судна от заданного курса затухает апериодически согласно (8.57) и тем быстрее, чем меньше Однако следует помнить, что при. уменьшении сокращается и область скользящего режима, вне которой колебания курса, как мы увидим ниже, затухают уже осцилляторно и сравнительно медленно. Поэтому как слишком малые, так и слишком большие значения параметра характеризующего величину скоростной коррекции, приводят к медленному установлению заданного курса.

3. Точечное преобразование.

Рассмотрим теперь ход фазовых траекторий вне отрезка скользящего режима путем сведения задачи к некоторому точечному преобразованию прямой в прямую. Пусть Рассмотрим для построения точечного преобразования фазовую траекторию, пересекающую «прямую переключений» (8.54) и входящую (при в область (I) в некоторой точке очевидно, что Интегрируя (8.55), получим общее решение для области (I):

значения при Для рассматриваемой траектории тогда при некотором однозначно определяемом уравнением

координата электрозолотника обращается в нуль и изображающая точка возвращается на «прямую переключений» в точке где

Здесь могут представиться два случая. Если то фазовая траектория входит в отрезок скользящего режима и дальнейшее

движение протекает согласно (8.57). Если же то траектория переходит в область (II) и вновь приходит на «прямую переключений» в некоторой точке

Так мы получим последовательность точек пересечения рассматриваемой траектории с «прямой переключений» — последовательность точек:

Нетрудно видеть, что в силу симметрии фазовых траекторий в областях (I) и (II) относительно начала координат каждая последующая точка получается из предыдущей тем же преобразованием, что и точка из точки т. е. преобразованием с функцией последования:

получаемой из (8.59) и (8.59а). При этом точка имеет последующую только при условии, что в противном случае точка не имеет последующей на полупрямой так как соответствующее меньше и рассматриваемая фазовая траектория входит в отрезок скользящего режима.

Графики функций (8.60) изображены на рис. 398.

Рис. 398.

Для Далее увеличении монотонно возрастают, причем при Эти кривые не пересекаются (преобразование (8.60) не имеет неподвижных

точек), так как

ибо Таким образом, каждая последующая точка пересечения данной фазовой траектории с «прямой переключений» лежит ближе к началу координат, чем предыдущая, и после конечного числа колебаний авторулевой входит в скользящий режим.

Число колебаний судна (число перекладок руля) до входа в скользящий режим, очевидно, зависит от начальных условий и от величины параметра Если то при любых (т. е. при любых следовательно, самое большее после одного пересечения прямой (8.54) фазовая траектория входит в отрезок скользящего режима. Та же картина, как мы видели, имеет место и при Учитывая, что увеличение уменьшает скорость апериодического затухания отклонения судна от заданного курса в скользящем режиме авторулевого, можно, по-видимому, считать нецелесообразным применение авторулевого с большой коррекцией по скорости, не только но и с На рис. 399 приведено разбиение фазовой плоскости на траектории для случая и на рис. 400 — осциллограмма колебаний курса судна с двухпозиционным авторулевым, соответствующая фазовой траектории на рис. 399. При любых начальных условиях авторулевой приходит в скользящий режим, после чего происходит апериодическое установление заданного курса. При этом чем меньше тем меньше отрезок скользящего режима и тем дольше система совершает колебания, прежде чем начнется скользящий режим. При (скоростная коррекция отсутствует совсем) скользящего режима не существует

Рис. 399.

вообще, и весь процесс колебаний курса судна является осцилляторным и сравнительно медленно затухающим (на рис. 401 для иллюстрации сказанного изображена фазовая плоскость системы при

Рис. 400.

Заметим, что рассматриваемая система: судно двухпозиционный авторулевой (при сделанных выше упрощающих предположениях), приходит в автоколебательный режим при т. е. при неправильном включении демпфирующего гироскопа, приводящем к перекладке руля после прохождения судном заданного курса.

Рассмотрение структуры разбиения фазовой плоскости на траектории в этом случае также может быть сведено к преобразованию точек пересечения траекторий с «прямой переключений» (функция последования по-прежнему будет записываться в виде (8.60)).

Рис. 401.

Рис. 402.

Диаграмма Ламерея для случая изображена на рис. 402. Точечное преобразование (8.60) при имеет единственную и устойчивую неподвижную точку, которой на фазовой плоскости

(рис. 403) соответствует устойчивый и симметричный предельный цикл. Полупериод автоколебаний определяется из уравнений (8.60), если положить в них или из уравнения

Рис. 403.

Нетрудно показать, что амплитуда и период автоколебаний курса судна стремятся к нулю, когда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление