Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Авторулевой с пространственным запаздыванием.

Перейдем теперь к рассмотрению динамики системы «судно двухпозиционный авторулевой» со скоростной коррекцией при учете пространственного запаздывания в электрозолотнике. Характеристика такого авторулевого была изображена на рис. 408; авторулевой держит руль в положений при и в положении при перекладывая руль мгновенно из одного крайнего

положения в другое только при когда о увеличивается, и при когда о уменьшается. При положение руля уже не определяется однозначно координатой электрозолотника о (может быть как так и а определяется предшествующими состояниями системы: руль остается в том же положении, которое он занимал в непосредственно предшествующие моменты времени. Эта неоднозначность характеристики авторулевого (неоднозначность момента сил руля как функции координаты электрозолотника очевидно, приводит к тому, что в качестве фазовой поверхности системы мы не можем взять плоскость Фазовая поверхность будет двулистная, состоящая из двух листов (I) и (II), представляющих соответственно множества состояний системы с рулем в левом и правом крайних положениях и перекрывающихся друг с другом в пределах «зоны неоднозначности»: (рис. 410).

Рис. 410.

При этом в соответствии с принятой характеристикой авторулевого мы должны считать, что переход изображающей точки с листа (I) на лист (II) происходит только на границе листа (I), а обратный переход — только на границе листа (II).

Введем (так же как в предыдущем параграфе) новые переменные и новое, безразмерное время связанные со старыми переменными соотношениями:

Тогда уравнения движения рассматриваемой динамической системы приведутся к виду, аналогичному (8.53):

но где

а

На листе соответствующем множеству состояний системы с рулем в левом крайнем положении и представляющем собой полуплоскость

т. е. и следовательно, уравнения движения системы запишутся в виде (8.55), а их решением будут соотношения (8.58).

Рис. 411.

Разбиение этого листа на фазовые траектории изображено на рис. 411 [для определенности взят случай Как

нетрудно видеть, на листе (I) нет состояний равновесия, и все траектории выходят на его границу

и затем переходят на лист (II). Отметим, что траектории на листе симметричны траекториям на листе (I) по отношению к началу координат. Эта симметричность является непосредственным следствием уравнений (8.63), точнее, их инвариантности относительно замены переменных х, у на -х, —у.

Построим на листе (I) (рис. 411) полупрямую

через которую изображающие точки переходят на лист (II), и симметричную ей полупрямую

— полупрямую перехода траекторий с листа (II) на лист (I); выберем координаты: на полупрямой на полупрямой 5 (симметричным точкам на этих полупрямых соответствуют одинаковые значения координаты и рассмотрим точечное преобразование полупрямой в полупрямую

осуществляемое траекториями на листе в свою очередь точки полупрямой преобразуются в точки полупрямой 5 траекториями на листе (II), причем в силу указанной выше симметрии траекторий на листах (I) и (II) это преобразование будет тождественным с преобразованием Таким образом, это преобразование определяет в последовательности значений

для точек пересечения каждой заданной фазовой траектории с полупрямыми (с «полупрямыми переключений») каждое последующее значение по предыдущему

что, очевидно, позволяет свести рассмотрение структуры разбиения

двулистной фазовой поверхности на траектории к исследованию этого точечного преобразования.

Подставив в и обозначив время пробега изображающей точки по траектории на листе от полупрямой до полупрямой через при и мы получим соотношения:

после разрешения которых относительно мы получим функцию соответствия преобразования в следующей параметрической форме:

Рис. 412.

Для построения диаграммы Ламерея введем вспомогательные функции:

Графики этих функций (для приведены на рис. 412. Первая из них — монотонно возрастающая функция, вторая имеет максимум при значении определяемом, условием

при

Очевидно,

причем начальной точке полупрямой 5 соответствует вначение определяемое уравнением

Пусть В этом случае на полупрямой поэтому точкам этой полупрямой соответствуют значения параметра преобразования при Используя графики функций и и соотношения (8.64а), нетрудно построить диаграмму Ламерея; она для случая построена на рис. 413.

Рис. 413.

Нетрудно видеть, что кривые (8.64) имеют единственную точку пересечения, а следовательно, преобразование имеет единственную неподвижную точку Это непосредственно следует из того, что разность

является непрерывной и монотонно возрастающей функцией так как и при

причем эта разность стремится к когда а при равняется

Значение параметра для неподвижной точки преобразования очевидно, однозначно определяется уравнением

или

а координата неподвижной точки — соотношением

или, поскольку

Заметим, что при малых а (при малой ширине «зоны неопределенности» характеристики авторулевого, т. е. при малом запаздывании) также малы; именно, с точностью до членов порядка

Эта неподвижная точка является устойчивой, так как условие ее устойчивости

в силу (8.64а) сводится к неравенству

выполняемому всегда. В самом деле, если то при и условие устойчивости неподвижной точки эквивалентно неравенству

справедливость которого была доказана выше для любых (см. (8.65а)). Если же то при в силу чего условие устойчивости принимает вид:

и также всегда выполняется, так как

Итак, при точечное преобразование имеет единственную и притом устойчивую неподвижную точку, которая, как нетрудно видеть, является предельной точкой для последовательностей:

с любыми начальными точками

То же самое имеет место и при При полупрямые превращаются в прямые причем в силу (8.58) время пробега изображающей точки от прямой до прямой не зависит от и равно В этом случае функция последования преобразования получается в явном виде:

а само точечное преобразование имеет единственную и устойчивую неподвижную точку

При в точках полупрямой но, поскольку при точкам этой полупрямой соответствуют по-прежнему значения Диаграмма Ламерея для этого случая изображена на рис. 414. Существование неподвижной точки вытекает из непрерывнбсти функций (8.64) и из неравенств: при при единственность — из монотонности убывания при изменении от до Доказательство устойчивости неподвижной точки при ничем не отличается от доказательства, проведенного выше для случая

Таким образом, при любом положительном значении параметра на фазовой поверхности рассматриваемой динамической системы имеется единственный и притом устойчивый и симметричный предельный цикл, к которому стремятся (при все фазовые траектории (рис. 415). Иначе говоря, судно с рассматриваемым авторулевым при любых начальных условиях приходит в автоколебательный режим

в режим незатухающих периодических колебаний около заданного курса или

Рис. 414. (см. скан)

Амплитуда и период этих колебаний тем меньше, чем меньше запаздывание авторулевого и чем больше коррекция по скорости. Одна из осциллограмм колебаний курса судна,

соответствующая траектории А на рис. 415, приведена на рис. 416 (точками на кривой отмечены моменты переключения авторулевого — моменты времени, в которые происходят перекладки руля из одного крайнего положения в другое).

Рис. 415.

Рис. 416.

Траектории, выходящие на «прямые переключений» в точках с идут в дальнейшем между этими прямыми, т. е. в -окрестности прямой где Эти

зигзагообразные траектории, очевидно, и соответствуют скользящему режиму авторулевого, когда авторулевой, не выходя за пределы «зоны неоднозначности», производит частые перекладки руля попеременно то в одно, то в другое крайнее положение (через интервалы времени порядка Во время скользящего режима следовательно, при уменьшении зоны запаздывания авторулевого когда интервалы времени через которые происходят перекладки руля, стремятся к нулю) зигзагообразные траектории стремятся к прямой а размеры предельного цикла и амплитуда автоколебаний курса стремятся к нулю. Таким образом, в пределе при —0 мы получаем то доопределение скользящего режима, которое было дано (в виде постулата) в предыдущем параграфе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление