Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Авторулевой с временным запаздыванием.

Качественно такие же результаты получаются и при рассмотрении динамической модели судна с двухпозиционным авторулевым, когда запаздывание срабатывания авторулевого идеализируется как временное запаздывание, т. е. предполагается, что авторулевой перекладывает руль через некоторый постоянный промежуток времени после прохождения через нуль координаты электрозолотника о.

В тех же переменных, которые мы использовали в предыдущем разделе параграфа, уравнения движения судна с двухпозиционным авторулевым, имеющим временное запаздывание, очевидно, запишутся в следующем виде:

где

приведенное время запаздывания. Теперь, в отличие от ранее рассмотренных динамических систем, уравнения движения судна с авторулевым являются уже не дифференциальными, а дифференциально-разностными: скорости изменения переменных х, у (в частности, угловое ускорение судна) в момент времени определяются не только значением у в этот момент времени, но и

значением координаты электрозолотника в другой, более ранний момент Вследствие этого движение системы при не определяется однозначно заданием х, у в момент времени а требует для своего полного и однозначного определения задания функции на отрезке времени Иначе говоря, состояние рассматриваемой системы в любой момент времени определяется заданием функции на отрезке времени что то же самое, заданием х, у в момент времени и кусочнопостоянной функции для соответственно фазовым пространством системы будет не какая-либо поверхность, а функциональное пространство.

В связи с этим, чтобы упростить задачу исследования динамики системы и свести ее к изучению точечного преобразования прямой в прямую, нам придется в дальнейшем ограничиться рассмотрением только некоторого частного класса движений системы, которым мы сможем сопоставить траектории на некоторой двулистной поверхности, выделенной из полного (функционального) фазового пространства. Обозначим через множество состояний (в произвольные моменты времени удовлетворяющих условию, чтобы при координата электрозолотника не обращалась в нуль, и будем рассматривать ниже только те движения системы, которые начинаются из этих состояний. Состояния типа (т. е. принадлежащие к множеству в любые моменты времени однозначно задаются значениями х и у в те же моменты времени, и мы будем поэтому отображать их (взаимно однозначно и непрерывно) точками на плоскости х, у, из которой исключена прямая (на плоскости

Пусть для определенности точки отображающие начальные состояния типа Ко лежат на полуплоскости пусть начальные значения координаты электрозолотника Тогда в силу определения множества состояний и при следовательно, по крайней мере при и движения системы будут описываться дифференциальными уравнениями (8.55):

Эти уравнения будут справедливы и далее, до тех пор, пока не произойдет перекладка руля и не изменит своего значения на если обозначить через момент времени, в который обращается в нуль при движении, начинающемся при из состояния уравнения (8.55), очевидно, будут описывать движения системы при При этом до тех пор, пока не обратится в нуль, т. е. при система будет проходить через состояния, принадлежащие множеству , и мы можем сопоставить этим движениям системы движения изображающей точки по фазовым траекториям (8.58) уравнения (8.55) на полуплоскости Однако состояния системы при этому множеству уже не принадлежат, поскольку при Поэтому мы будем изображать эти состояния точками некоторой дополнительной полосы , «пришитой» к полуплоскости К и наложенной на полуплоскость (рис. 417). Эта дополнительная полоса вместе с полуплоскостью образуют лист (I) фазовой поверхности, соответствующей множеству

Рис. 417.

состояний, через которые проходит система при движениях, начинающихся из состояний типа и определяемых уравнениями (8.55).

При (т. е. через интервал времени после обращения в нуль) произойдет перекладка руля, координата руля становится равной а состояния системы вновь принадлежат множеству Ко (соответствующие изображающие точки лежат на линии на полуплоскости В дальнейшем, пока следовательно, справедливы дифференциальные уравнения (8.55а):

система при своих движениях проходит через состояния, которым соответствуют точки листа (II) фазовой поверхности, симметричного листу (I) и составленного из полуплоскости и дополнительной полосы Через единиц времени после обращения координаты электрозолотника в нуль и смены ее знака с отрицательного на положительный на линии являющейся границей листа (II), координата руля вновь станет равной — 1, изображающая точка переходит на лист (I) и затем движется по нему, пока не дойдет до линии границы листа (I), и т. д.

Таким образом, если начальное состояние системы (при принадлежало множеству то в дальнейшем (при система при своем движении будет проходить только через состояния, которые принадлежат множеству Ко и которым (взаимно однозначно и непрерывно) соответствуют точки двулистной фазовой поверхности К, изображенной на рис. 417. Каждому такому движению системы (также взаимно однозначно и непрерывно) соответствует фазовая траектория на фазовой поверхности Ясно, что в силу симметрии уравнений (8.55) и (8.55а), определяющих движения системы соответственно на листах (I) и (II), разбиения листов (I) и (II) на фазовые траектории также будут симметричными друг другу (относительно начала координат). Поэтому задача изучения динамики системы «судно авторулевой с временным запаздыванием», если ограничиваться рассмотрением только тех движений, которые начинаются из состояний типа сводится к исследованию точечного преобразования линии в линию осуществляемого траекториями (8.58) на листе

Найдем уравнения линий линий перехода фазовых траекторий с листа (II) на лист (I) и с листа на лист (II). Для определения линии границы листа заметим, что обращается в нуль, изменяя свой знак с положительного на отрицательный, только в точках полупрямой

т. е. в точках

где

Так как граница листа (I) соответствует множеству состояний, в которые приходит система через интервал времени после обращения в нуль, то мы получим уравнения этой линии из общего решения (8.58), если возьмем там за начальные точки точки полупрямой: , и положим

т. е. линия является полупрямой:

где

с начальной точкой она соответствует

Полупрямая симметрична полупрямой ее уравнением будет

и начальной точкой — точка с (на полупрямой если если Вид

двулистной фазовой поверхности рассматриваемой системы в зависимости от знаков приведен на рис. 418—421.

Если но время запаздывания не слишком велико (т. е. если ) или если то и изучаемая нами в этом разделе система судно двухпозиционный авторулевой с временным запаздыванием (и с коррекцией по скорости) имеет ту же динамику (те же движения), что и судно с авторулевым, обладающим некоторыми эквивалентными пространственным запаздыванием а и коррекцией по скорости Этот случай полностью сводится к рассмотренному в первом разделе параграфа: все движения системы (начинающиеся из состояний типа приводят к установлению автоколебаний курса, амплитуда и период которых тем меньше, чем меньше запаздывание и чем больше скоростная коррекция При малых временах запаздывания на фазовой поверхности имеются зигзагообразные фазовые траектории, идущие между близко расположенными полупрямыми и соответствующие работе авторулевого в скользящем режиме с частыми (тем более частыми, чем меньше перекладками руля авторулевым с одного борта судна на другой (рис. 418 и 419).

Рис. 418.

При ббльших при , но т. е. такое временное запаздывание авторулевого эквивалентно некоторому пространственному запаздыванию а, но при наличии скоростной коррекции неправильного знака (при наличии «запаздывающей», а не опережающей, как раньше, коррекции по скорости

Рис. 419.

Рис. 420.

Рис. 421.

Рассмотрение этого случая ничем не отличается от рассмотрения, проведенного в предыдущем разделе параграфа: будет иметь место та же

диаграмма Ламерея (рис. 413), но с что исключает возможность существования скользящего режима; все траектории будут стремиться к единственному и устойчивому предельному циклу (рис. 420).

В заключение параграфа рассмотрим кратко последний случай: когда и являются отрицательными величинами. Фазовая поверхность для этого случая изображена на рис. 421. Теперь временное запаздывание авторулевого оказывается эквивалентным пространственному опережению (ибо ) при наличии «запаздывающей» скоростной коррекции Выберем в качестве координат на полупрямых Тогда для функции соответствия точечного преобразования полупрямой 5 в полупрямую осуществляемого траекториями на листе (I), будут по-прежнему справедливы параметрические выражения (8.64), если заменить в них коэффициенты на отрицательные величины : а

Рис. 422.

В отличие от случая , рассмотренного в первом разделе параграфа, теперь (при функция (см. имеет при определяемом уравнением а минимум, равный в силу чего является монотонно убывающей функцией Далее, при и при (рис. 422). В связи с этим каждому значению соответствуют согласно первому соотношению (8.69) два значения параметра одно из которых больше, а другое меньше, чем Это, очевидно, обусловлено тем, что все фазовые траектории, выходящие из точек полупрямой 5, прежде чем придти на полупрямую сначала пересекают ее продолжение, т. е. пересекают прямую в точках с (вне полупрямой Поэтому

временем пробега изображающей точка по траектории от точки полупрямой до точки полупрямой будет являться большее из двух значений параметра соответствующих в силу (8.69) заданному значению в выражениях (8.69) мы должны полагать, что Обозначим через то значение которое соответствует начальной точке полупрямой Тогда, так как при и точкам полупрямой соответствуют значения параметра причем при изменении от до монотонно возрастает от

Диаграмма Ламерея для рассматриваемого случая изображена на рис. 423.

Рис. 423.

Нетрудно показать, что точечное преобразование полупрямой в полупрямую и в этом случае имеет единственную и устойчивую неподвижную точку. Этой неподвижной точке на фазовой поверхности соответствует единственный и устойчивый предельный цикл, к которому (при стремятся все фазовые траектории (рис. 421).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление