Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Машина, работающая на «постоянную» нагрузку.

Предположим, что нагрузка машины создается силами «постоянного» трения, подчиняющихся закону Кулона (см. § 2, гл. III), т. е. что

где максимальный момент сил трения покоя, причем . При такой нагрузке машина будет иметь устойчивые состояния равновесия, расположенные вблизи «мертвых точек». Действительно, обозначив через те углы поворота вала, при которых движущий момент (см. рис. 444), мы получим, что при при и при поэтому все состояния где любой угол в одном из трех указанных интервалов, являются состояниями равновесия, поскольку в них соггласно так как и следовательно, (в устойчивости этих состояний равновесия мы убедимся ниже).

Это обстоятельство подсказывает следующую простейшую идеализацию характеристики движущего момента машины значительно упрощающую рассмотрение динамики паровой машины и в то же время сохраняющую указанные выше состояния равновесия. Эта идеализация состоит в замене действительной характеристики движущего момента паровой машины следующей разрывной кусочнопостоянной функцией:

график этой разрывной функции изображен на нижней половине рис. 444 пунктирной линией. «Амплитуду» идеализированного движущего момента мы выберем так, чтобы за каждые полоборота вала работа момента (8.85) равнялась работе паровой машины, т. е.

где — так называемый «угол отсечки» пара и характеристика движущего момента паровой машины. Такой выбор

обеспечит наилучшее энергетическое соответствие паровой машины и ее динамической модели.

Легко видеть сразу, что движение будет происходить с увеличивающейся угловой скоростью (машина пойдет «в разнос»), если так как в этом случае за каждые полоборота работа движущего момента будет больше работы сил «постоянного» трения нагрузки Если то рассматриваемая модель будет «квазиконсервативной»: она будет иметь континуум периодических движений с (этим движениям будут соответствовать замкнутые фазовые траектории, охватывающие фазовый цилиндр в области Наконец, при все движения будут затухающими, т. е. машина будет останавливаться при любых начальных условиях. Очевидна негрубость квазиконсервативного случая: машина пойдет «в разнос» или будет останавливаться при любом, сколь угодно малом нарушении равенства из-за изменения «амплитуды» движущего момента или максимального момента нагрузки

Полученные результаты отображают, в известной мере, свойства реальных паровых машин, которые, как известно, обладают весьма небольшим саморегулированием, т. е. значительно изменяют скорость вращения вала при сравнительно небольших изменениях нагрузки или давления пара в паровой магистрали (именно поэтому паровые машины обычно снабжаются регуляторами скорости вращения вала!).

Таким образом, паровая машина, работающая на «постоянную» нагрузку, не является (при сделанных выше предположениях) автовращательной системой. Тем не менее, имея в виду изучение других, автовращательных динамических моделей паровой машины, мы все же проведем краткий анализ разбиения на траектории фазового цилиндра рассматриваемой сейчас динамической системы.

Введем новые переменные:

тогда уравнение (8.83) для рассматриваемого случая постоянной нагрузки запишется в следующем безразмерном виде:

где

и

(здесь введенный ранее «угол отсечки» пара)

— приведенные идеализированные характеристики движущего момента машины и момента «постоянной» нагрузки (рис. 445).

Рис. 445.

Отметим некоторые особенности разбиения фазового цилиндра на траектории уравнений (8.83а): 1) на окружности имеется два «отрезка покоя» состоящих из устойчивых состояний равновесия (в точках «отрезков покоя» а траектории как на верхней, так и на нижней половине фазового цилиндра подходят при возрастании к этим точкам, поскольку при указанных значениях при при на нижней половине фазового цилиндра (при и любых поэтому там все траектории идут к окружности т. е. или идут к состояниям равновесия на «отрезках покоя» или же переходят на верхнюю половину цилиндра (на окружности при т. е. на «отрезках покоя», и при т. е. вне «отрезков покоя»); 3) нет фазовых траекторий, переходящих (при возрастании с верхней половины фазового цилиндра на нижнюю.

Траектории на верхней половине фазового цилиндра определяют два точечных преобразования: точечное преобразование II, преобразующее точки полупрямой в точки полупрямой и точечное преобразование II полупрямой в полупрямую т. е. в полупрямую

Так как движущий момент и, следовательно, правые части уравнений (8.83) являются периодическими функциями угла с периодом, равным не то разбиения на траектории половин фазового цилиндра будут тождественными друг другу, в силу чего будут совпадать и точечные преобразования II и Поэтому в последовательности точек пересечения какой-либо, произвольно выбранной траектории с полупрямыми

каждая последующая точка определяется по предыдущей одним и тем же точечным преобразованием (например, преобразованием независимо от того, на какой из полупрямых лежит эта точка:

Рис. 446.

Для вычисления функции соответствия точечного преобразования II построим на части фазового цилиндра: фазовые траектории уравнений (8.83а), определяющие это преобразование (рис. 446). В области (I): уравнения движения (8.83а) имеют вид:

откуда

Интегрируя последнее уравнение, получим, что траекториями в области (I) являются дуги парабол:

Аналогично в области (II): где

траекториями являются дуги других парабол:

Пусть траектория уравнений (8.83а), начинающаяся в некоторой точке и полупрямой (т. е. в точке Ее уравнением при будет:

поэтому она выйдет на границу области на полупрямую в точке ординатой определяемой соотношением

В области (II) уравнением траектории L будет:

и следовательно, для точки пересечения траектории L с полупрямой

или

Это соотношение и определяет (в явном виде) функцию соответствия для точечного преобразования точек полупрямой (с ординатами и) в точки полупрямой (с ординатами ).

Диаграммы Ламерея в трех возможных случаях: а) изображены на рис. 447—449 (по осям отложены тогда графики функции соответствия будут прямыми линиями). При (рис. 447), поэтому последовательность ординат точек пересечения любой траектории с полупрямыми является неограниченно возрастающей и фазовые траектории, охватывая цилиндр, уходят в бесконечность (т. е. машина идет «в разнос»). При (рис. 448) и все точки полупрямой являются неподвижными точками преобразования II. Следовательно, в этом случае система является «квазиконсервативной»: через каждую точку полупрямой проходит замкнутая

траектория, охватывающая цилиндр (машина может работать с любой средней скоростью вращения вала; значение последней определяется начальными условиями).

Рис. 447.

Рис. 448.

Рис. 449.

Заметим, что как при так и при на фазовом цилиндре существуют «отрезки покоя» с некоторой областью притяжения, т. е. и в этих случаях можно задать такие начальные условия, при которых машина остановится.

Рис. 450.

Рис. 451.

Наконец, при (рис. 449), когда все последовательности точек

пересечения траекторий с полупрямыми являются монотонно убывающими и конечными. Действительно, если обозначить через ординату первой точки пересечения некоторой траектории с полупрямыми , то для точки пересечения, где ордината эта точка не будет иметь последующей в точечном преобразовании а соответствующая траектория, не пересекая более полупрямых придет к одной из точек «отрезка покоя». Таким образом, в случае все траектории входят в «отрезки покоя», т. е. машина останавливается при любых начальных условиях. Разбиения на траектории фазового цилиндра для этих трех случаев изображены на рис. 450—452. Так как полученные результаты, очевидно, совпадают с результатами приведенного выше энергетического рассмотрения.

Рис. 452.

Таким образом, паровая машина не может работать устойчиво на «постоянную» нагрузку: она или останавливается или идет «в разнос». Для получения устойчивого режима работы машины на «постоянную» нагрузку, при котором вал машины вращается с некоторой заданной средней угловой скоростью, не зависящей от начальных условий, т. е. для получения устойчивого автовращательного режима паровая машина должна быть снабжена регулятором скорости вращения вала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление